这道题是在考“秩”吗？不！考的是矩阵的子式

一、题目

已知 $a$ 是任意常数, 下列矩阵中秩有可能不等于 3 的是哪一个矩阵？

(A) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a-1\end{array}\right]$

(B) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & a+1\end{array}\right]$

(C) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & a+1\end{array}\right]$

(D) $\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 a+2\end{array}\right]$

难度评级：

二、解析

Tips:

一个矩阵中的子式指的是：在这个矩阵中随便选几行和几列，在所选的每行和每列上都画条线，把这些线交叉点处的元素取出来，保持原来的相对位置不变，所组成的新的矩阵，就是原矩阵的子式——

需要注意的是，这个“子式”中的元素并不要求必须在原矩阵中是相邻的，只要相对位置保持不变即可。

对于 $(A)$ 选项：

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a-1\end{array}\right|
$$

可以取出如下子式：

$$
\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=1 \neq 0.
$$

又由于原矩阵是三行四列的矩阵，可能存在的最大的秩是 $3$, 因此 $r=3$ 成立。

对于 $(B)$ 选项：

$$
\left|\begin{array}{llll}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a & a+1\end{array}\right|
$$

可以取出如下子式：

$$
\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & a \\ 0 & 0 & a\end{array}\right|=a
$$

也可以取出如下子式：

$$
\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a+1\end{array}\right|=a+1
$$

由于 $a$ 和 $a + 1$ 不可能同时为零，而且原矩阵不可能存在大于 $3$ 的秩，因此 $r=3$ 成立。

对于 $(C)$ 选项：

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & a+1\end{array}\right|
$$

可以取出如下子式：

$$
\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right|=a.
$$

也可以取出如下子式：

$$
\left|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a+1\end{array}\right|=a+1
$$

由于 $a$ 和 $a + 1$ 不可能同时为零，而且原矩阵不可能存在大于 $3$ 的秩，因此 $r=3$ 成立。

对于 $(D)$ 选项：

由于第三行和第四行成比例，因此：

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 a+2\end{array}\right| \Rightarrow
$$

$$
\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a+1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|
$$

于是，当 $a=-1$ 时，满足 $r = 2 \neq 3$, 符合题意。

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