利用现成的结论快速解题

一、题目

已知 $a$ 与 $b$ 是两个常数, 且 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty}$ $\mathrm{e}^{x}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+a\right)$ $=$ $b$, 则

$$
\begin{cases}
& a = ? \\
& b = ?
\end{cases}
$$

难度评级：

二、解析

由《常用的反常积分结论之 e 积分》可知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.
$$

于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{x}\left(\int_{0}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+a\right) = b \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \mathrm{e}^{x} \cdot \left(\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t+a\right) = b \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \mathrm{e}^{x} \cdot \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} + a\right) = b.
$$

由于：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \mathrm{e}^{x} \rightarrow + \infty
$$

因此，若要使 $\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \mathrm{e}^{x} \cdot \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} + a\right)$ 存在极限，则必须是 $\infty \cdot 0$ 型极限，即：

$$
\frac{\sqrt{\pi}}{2} + a = 0 \Rightarrow
$$

$$
a = – \frac{\sqrt{\pi}}{2} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \mathrm{e}^{x} \cdot \left( \frac{\sqrt{\pi}}{2} + a\right) = b \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow +\infty} \mathrm{e}^{x} \cdot 0 = b \Rightarrow
$$

$$
b = 0
$$

综上可知：

$$
\begin{cases}
& a = – \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\
& b = 0
\end{cases}
$$

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