当定积分遇上无穷大:先积分再计算无穷大

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

$$
a_{n}=3 \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} \mathrm{~d} x
$$

则:

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n} = ?
$$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

错误的解法:不能先计算无穷大

注意:抓大头的解法不能随便用,更不能直接用在被积函数和积分上下限中使用,具体内容可以阅读《计算极限问题时“抓大头”要慎重!

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n}=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} d x=
$$

抓大头:

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{\frac{n}{n}} x^{2 n} \sqrt{x^{2 n}} d x=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{2 n} \cdot x^{n} d x=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{3 n} d x=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{n}{3 n+1} x^{3 n+1} \Big|_{0} ^{1}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{3 n}{3 n+1}= \lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{3 n}{3 n}=1
$$

正确的解法:要先计算定积分

由于:

$$
\left(1+x^{2 n}\right)^{\prime} x=2 n x^{2 n-1}.
$$

于是,可以凑微分如下:

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{n+1}{n}} x^{2 n-1} \sqrt{1+x^{2 n}} d x=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n} \int_{0}^{\frac{n+1}{n}}\left(1+x^{2 n}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} \left(1+x^{2 n}\right)=
$$

$$
3 \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2 n} \cdot \frac{2}{3}\left(1+x^{2 n}\right)^{\frac{3}{2}} \Big|_{0} ^{\frac{n+1}{n}}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\left[1+\left(\frac{n+1}{n}\right)^{2 n}\right]^{\frac{3}{2}}-1\right\}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\left[1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n \cdot 2}\right]^{\frac{3}{2}}-1\right\}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left\{\left[1+e^{2}\right]^{\frac{3}{2}}-1\right\} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n a_{n}=\left(1+e^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-1.
$$


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