一道没用上变限积分性质的变限积分题目:应用了积分上下限的加减运算、周期函数的定积分性质和三角函数的性质

一、题目题目 - 荒原之梦

已知:

$$
f(x)=\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{-\cos t}\right) \mathrm{d} t.
$$

则 $f(x)$ 和 $f(x+2 \pi)$ 之间是什么关系?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

一旦题目中问我们两个式子之间的关系,特别是当这两个式子还比较相似的时候,最常用的做法就是直接对这两个式子进行加减乘除的四则运算,通过运算得到的结果,对其关系进行判断。因此:

$$
f(x+2 \pi)-f(x) \Rightarrow
$$

$$
\int_{0}^{x+2 \pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t-\int_{0}^{x}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

根据积分加减运算中积分上下限的运算规律,可得:

$$
\int_{x}^{x+2 \pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t.
$$

又由《如何判断一个包含常见周期函数的函数是不是周期函数》这篇文章可知,被积函数 $e^{\cos t}-e^{-\cos t}$ 是一个周期函数,且由于 $e^{\cos t}$ 和 $e^{-\cos t}$ 的周期都是 $2 \pi$, $\frac{2 \pi}{2 \pi} = 1$, 因此,$e^{\cos t}-e^{-\cos t}$ 的周期也是 $2 \pi$.

接着,通过下面的计算过程可知,$e^{\cos t}-e^{-\cos t}$ 还是一个偶函数:

$$
e^{\cos t}-e^{-\cos t} \Rightarrow e^{\cos (-t)}-e^{-\cos (-t)} \Rightarrow
$$

$$
e^{-\cos t}-e^{\cos t}=-\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right).
$$

于是,根据周期函数定积分的性质——无论积分上下限是多少,只要积分上限减去积分下限是被积函数的一个最小正周期,那么,这些定积分就是相等的:

$$
f(x+2 \pi)-f(x)=
$$

$$
\int_{-\pi}^{\pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t=
$$

$$
2 \int_{0}^{\pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
t=\pi-u \Rightarrow u=\pi-t \Rightarrow u \in(\pi, 0) \Rightarrow
$$

$$
f(x+2 \pi)-f(x)=
$$

$$
-2 \int_{\pi}^{0}\left(e^{\cos (\pi-u)}-e^{-\cos (\pi-u)}\right) \mathrm{~ d} u \Rightarrow
$$

积变偶不变($k \cdot \frac{\pi}{2}$):

$$
2 \int_{0}^{\pi}\left(e^{-\cos u}-e^{\cos u}\right) \mathrm{~ d} u \Rightarrow
$$

$$
u=t \Rightarrow
$$

$$
-2 \int_{0}^{\pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t .
$$

综上:

$$
f(x+2 \pi)-f(x)=
$$

$$
2 \int_{0}^{\pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t = -2 \int_{0}^{\pi}\left(e^{\cos t}-e^{-\cos t}\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
f(x+2 \pi)-f(x)=0 \Rightarrow
$$

$$
f(x+2 \pi)=f(x).
$$


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress