三角代换和凑微分都可以降低被积函数的次幂

一、题目

$$
\int \frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

Tip

如果一个变量的次幂是小于 $1$ 或者大于 $1$ 的，都是不容易计算的，因此，我们解题的一个核心思路就是将变量的次幂向 $1$ 靠拢——三角代换和凑微分等方法都可以实现这一目的。

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$$
\int \frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{2}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x + \int \frac{x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x.
$$

Next

其中：

$$
\int \frac{x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
\frac{1}{2} \int \frac{1}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} (1 + x^{2}) =
$$

$$
\frac{1}{2} \int \frac{1}{t^{2}} \mathrm{d} t = \frac{-1}{2t} = \frac{-1}{2(1+x^{2})} + C_{1}
$$

其中，$C_{1}$ 为任意常数。

对 $\int \frac{2}{(1+x^{2})^{2}}$ $\mathrm{d} x$ 的计算有两种方法：

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方法一：三角代换

$$
\int \frac{2}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \int \frac{1}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

Next

令 $x$ $=$ $\tan t$, 则 $1$ $+$ $x^{2}$ $=$ $\frac{\cos^{2} t}{\cos^{2} t}$ $+$ $\frac{\sin^{2} t}{\cos^{2} t}$ $=$ $\frac{1}{\cos^{2} t}$, $\mathrm{d} (\tan t)$ $=$ $\frac{1}{\cos^{2} t}$ $\mathrm{d} t$ $\Rightarrow$

$$
2 \int \frac{1}{\frac{1}{\cos^{4} t}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} t} \mathrm{d} t =
$$

$$
2 \int \cos^{2} t \mathrm{d} t \Rightarrow
$$

$\cos 2 t$ $=$ $2 \cos^{2} t$ $-$ $1$ $\Rightarrow$ $\cos^{2} t$ $=$ $\frac{1}{2}$ $(1 + \cos 2t)$ $\Rightarrow$

$$
2 \cdot \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2 t) \mathrm{d} t =
$$

$$
\int 1 \mathrm{d} t + \int \cos 2 t \mathrm{d} t = t + \frac{1}{2} \sin 2t \Rightarrow
$$

Next

$x$ $=$ $\tan t$ $\Rightarrow$ $t$ $=$ $\arctan x$ $\Rightarrow$

$$
t + \frac{1}{2} \sin 2t = \arctan x + \frac{1}{2} \sin (2 \arctan x) \Rightarrow
$$

Note

根据荒原之梦网的这篇文章可知，$\sin(2\arctan x)$ $=$ $\frac{2 x}{1 + x^{2}}$.

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$$
t + \frac{1}{2} \sin 2t = \arctan x + \frac{x}{1 + x^{2}}.
$$

Next

于是：

$$
\int \frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x = \arctan x + \frac{x}{1 + x^{2}} – \frac{1}{2(1+x^{2})} + C.
$$

其中，$C$ 为任意常数。

Next

方法二：凑微分

$$
\int \frac{2}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \int \frac{1}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \int \frac{1 + x^{2} – x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \int \frac{1 + x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x – 2 \int \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \int \frac{1 }{1+x^{2}} \mathrm{d} x – 2 \int \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \arctan x – 2 \int \frac{x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

Next

又 $(\frac{1}{1 + x^{2}})^{\prime}$ $=$ $\frac{-2x}{(1+x^{2})^{2}}$ $\Rightarrow$

$$
2 \arctan x – \int \frac{2x \cdot x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \arctan x + \int x \mathrm{d} \Big(\frac{1}{1+x^{2}} \Big) =
$$

$$
2 \arctan x + x \cdot \frac{1}{1+x^{2}} – \int \frac{1}{1+x^{2}} \mathrm{d} x =
$$

$$
2 \arctan x + \frac{x}{1+x^{2}} – \arctan x =
$$

$$
\arctan x + \frac{x}{1+x^{2}}.
$$

Next

于是：

$$
\int \frac{2+x}{(1+x^{2})^{2}} \mathrm{d} x = \arctan x + \frac{x}{1 + x^{2}} – \frac{1}{2(1+x^{2})} + C.
$$

Next

其中，$C$ 为任意常数。

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