利用偶延拓计算 $[0, l]$ 上非周期函数的傅里叶展开式（B027）

问题

已知函数 $f(x)$ 为 $[0, l]$ 上的非周期函数，并且，可以利用偶延拓构造出在 $[-l, l]$ 上为偶函数的 $G(x)$ $=$
$\left\{\begin{array}{ll} f(x), & 0 \leqslant x \leqslant l \\ f(-x), & -l \leqslant x < 0 \end{array}\right.$

则，以下关于函数 $f(x)$ 基于偶延拓的傅里叶展开式，正确的是哪个？

选项

[A].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

[B].   $f(x)$ $\sim$ $2 a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

[C].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$

[D].   $f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$

   答 案   

$f(x)$ $\sim$ $\frac{a_{0}}{2}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$