问题
已知函数 $f(x)$ 是以 $2 l$ 为周期的周期函数，在区间 $[-l, l]$ 上可积。并且，函数 $f(x)$ 能通过展开成三角级数的形式进行傅里叶展开，则以下关于该函数的傅里叶展开式，正确的是哪个？选项
[A]. $f(x)$ $\sim$ $2$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$[B]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$
[C]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $)$
[D]. $f(x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $-$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$
$f(x)$ $\sim$
$\frac{1}{2}$ $a_{0}$ $+$ $\sum_{n=1}^{\infty}$ $($ $a_{n}$ $\cos \frac{n \pi}{l} x$ $+$ $b_{n}$ $\sin \frac{n \pi}{l} x$ $)$