函数极值存在的第一充分条件(B005)

问题

设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某去心邻域 $\mathring{U(x_{0})}$ 内可导,且 $f'(x_{0})$ $=$ $0$, 则以下哪个选项是函数极值存在的一个【充分条件】?

选项

[A].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧不发生变化

[B].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧发生变化

[C].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧都不存在

[D].   $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧始终等于零


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函数极值存在的第一充分条件

简明版:
当 $f'(x)$ 的值在点 $x_{0}$ 的左右两侧发生变化的时候,就表明函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值.

标准版:
若 $x$ $\in$ $(x_{0} – \sigma, x_{0})$ 时,$f'(x)$ $>$ $0$ $(<0)$, 且 $x$ $\in$ $(x_{0}, x_{0} + \sigma)$ 时,$f'(x)$ $<$ $0$ $(>0)$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极大(小)值. 其中,$\sigma$ $>$ $0$.