考研英语中可能会用到的“学科”名词

humanities 人文学科

social sciences 社会科学

后缀:-logy

methodology 方法学;方法论

geology 地质学

sociology 社会学

psychology 心理学

biology 生物学

ecology 生态学

anthropology 人类学

ideology 观念学

neurology 神经病学

archaeology 考古学

physiology 生理学

astrology 占星学;原始天文学

astronomy 天文学

futurology 未来学

theology 神学

后缀:-graphy

demography 人口统计学

geography 地理学

后缀:-tics

robotics 机器人技术

aeronautics 航空学

genetics 遗传学

economics 经济学

mathematics 数学

physics 物理学

politics 政治

linguistics 语言学

studies of XXX

某某学科

2014 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

题目

行列式 [latex]\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=[/latex] (    )

( A ) [latex](ad-bc)^{2}[/latex]
( B ) [latex]-(ad-bc)^{2}[/latex]
( C ) [latex]a^{2}d^{2}-b^{2}c^{2}[/latex]
( D ) [latex]b^{2}c^{2}-a^{2}d^{2}[/latex]

解析

本题就是计算行列式数值的题目,根据使用的定理的不同,可以有至少以下两种解法。

解法一

由于 [latex]4[/latex] 阶行列式是没有办法直接使用对角线法则的(对角线法则只适用于二阶或者三阶行列式),因此,这里我们首先想到的就是“降阶”。

降阶的方法里最直接易想的一个就是使用“N 阶行列式的展开定理”,使用某一行或某一列的元素分别与其对应的代数余子式进行乘积后求和的方式计算行列式的数值。在展开时,最好选择 [latex]0[/latex] 比较多的行或列进行展开。

我们可以按第 [latex]2[/latex] 行进行展开,于是有:

[latex]\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=a \times (-1)^{2+1}\begin{vmatrix} a& b& 0\\ c& d& 0\\ 0& 0& d \end{vmatrix} + b \times (-1)^{2+4}\begin{vmatrix} 0& a& b\\ 0& c& d\\ c& 0& 0 \end{vmatrix}=-a(ad^{2}-bcd)+b(adc-bc^{2})=-a^{2}d^{2}+2abcd-b^{2}c^{2}=-(ad-bc)^{2}[/latex]

综上可知,本题的正确选项是:B

解法二

本题的 [latex]0[/latex] 比较多,因此可以考虑使用以下定理:

设 [latex]A[/latex] 是 [latex]m[/latex] 方阵,[latex]B[/latex] 是 [latex]n[/latex] 阶方阵,则:

(当副对角线存在 [latex]0[/latex] 矩阵时可以使用下面的定理。)

[latex]\begin{vmatrix} A& O\\ O& B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A& O\\ C& B \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A& C\\ O& B \end{vmatrix}=|A||B|.[/latex]

(当主对角线存在 [latex]0[/latex] 矩阵时可以使用下面的定理。)

[latex]\begin{vmatrix} O& A\\ B& O \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} O& A\\ B& C \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} C& A\\ B& O \end{vmatrix}=(-1)^{mn}|A||B|.[/latex]

我们又知道“交换行列式的两行或者两列行列式变号”,于是我们有:

[latex]\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ a& 0& 0& b\\ 0& c& d& 0\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=-\begin{vmatrix} 0& a& b& 0\\ 0& c& d& 0\\ a& 0& 0& b\\ c& 0& 0& d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b& a& 0& 0\\ d& c& 0& 0\\ 0& 0& a& b\\ 0& 0& c& d \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b& a\\ d& c \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} a& b\\ c& d \end{vmatrix}=(bc-ad)(ad-bc)=abcd-(bc)^{2}-(ad)^{2}+abcd=-[(ad)^{2} + (bc)^{2}-2abcd]=-(ad-bc)^{2}.[/latex]

综上可知,本题的正确选项是:B

EOF

2014 年研究生入学考试数学一选择题第 2 题解析

题目

设函数 [latex]f(x)[/latex] 具有 [latex]2[/latex] 阶导数,[latex]g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,[/latex] 则在区间 [latex][0,1][/latex] 上 ( )

( A ) 当 [latex]f'(x) \geqslant 0[/latex] 时,[latex]f(x) \geqslant g(x).[/latex]

( B ) 当 [latex]f'(x) \geqslant 0[/latex] 时,[latex]f(x) \leqslant g(x)[/latex].

( C ) 当 [latex]f”(x) \geqslant 0[/latex] 时,[latex]f(x) \geqslant g(x)[/latex].

( D ) 当 [latex]f”(x) \geqslant 0[/latex] 时,[latex]f(x) \leqslant g(x)[/latex].

解析

如果要使用凹凸性的知识解答本题,则首先需要用到函数凹凸性的有关知识,也就是要明确一个函数的 [latex]1[/latex] 阶导和 [latex]2[/latex] 阶导反映出来的原函数形态。

总的来说,我们可以这么认为:

[latex]1[/latex] 阶导反映函数的单调性。在一个区间内,若 [latex]1[/latex] 阶导 [latex]f'(x)[/latex] 大于 [latex]0[/latex], 则原函数 [latex]f(x)[/latex] 单调递增;若 1 阶导 [latex]f'(x)[/latex] 小于 [latex]0[/latex], 则原函数 [latex]f(x)[/latex] 单调递减。

[latex]2[/latex] 阶导反映函数的凹凸性。在一个区间内,若 [latex]2[/latex] 阶导 [latex]f”(x)[/latex] 大于 [latex]0,[/latex] 则原函数 [latex]f(x)[/latex] 在此区间内的图像是凹的;若 [latex]2[/latex] 阶导 [latex]f”(x)[/latex] 小于 [latex]0,[/latex] 则原函数 [latex]f(x)[/latex] 在此区间内的图像是凸的。

此外,我们还需要掌握和一次函数解析式有关的 4 个计算公式:

  • 两点式(已知两点的坐标)

[latex]\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}},其中 x_{1} \neq x_{2} 且 y_{1} \neq y_{2}.[/latex]

  • 点斜式(已知斜率和其中一点的坐标)

[latex]y-y_{1}=k(x-x_{1}).[/latex]

  • 截距式(已知函数在 [latex]x[/latex] 轴和 [latex]y[/latex] 轴上的截距)

[latex]\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1, 其中 a \neq 0 且 b \neq 0 .[/latex]

  • 斜截式(已知斜率和函数在 [latex]y[/latex] 轴的截距)

[latex]y=k x + b .[/latex]

解法一

[latex]g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x \Rightarrow g(x)=f(0)-f(0)x+f(1)x \Rightarrow g(x)-f(0)=x[f(1)-f(0)] \Rightarrow g(x)-f(0)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0} \times (x-0).[/latex]

上式中最后得出的结果其实是一次函数解析式中的“两点式”的一个变形:

[latex]\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}} \Rightarrow y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1}).[/latex]

于是,我们知道,区间 [latex][0,1][/latex] 上的函数 [latex]g(x)[/latex] 其实就是点 [latex](0,f(0))[/latex] 和点 [latex](1,f(1))[/latex] 之间的连线。

又由于在区间 [latex][0,1][/latex] 上,当 [latex]f”(x) \geqslant 0[/latex] 时,[latex]f(x)[/latex] 是一个凹函数,即 [latex]f(x) \leqslant g(x),[/latex]

因此,正确的选项是:D

方法二

既然题目是让比较 [latex]f(x)[/latex] 和 [latex]g(x)[/latex] 的大小关系,那么我们自然能想到的就是对 [latex]f(x)[/latex] 和 [latex]g(x)[/latex] 做差,根据结果是大于 [latex]0[/latex] 还是小于 [latex]0[/latex] 来判断他们的大小关系,于是有:

[latex]F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x=f(x)-f(0)+f(0)x-f(1)x.[/latex]

于是有:

[latex]F(0)=f(0)-f(0) \times 1 – 0 = 0;[/latex]

[latex]F(1) = f(1) – f(0) \times 0 -f(1) = 0.[/latex]

即:

[latex]F(0)=F(1)=0.[/latex]

又由于题目中提到了 [latex]f(x)[/latex] 存在 [latex]2[/latex] 阶导函数,因此,我们需要把这个条件用上:

[latex]F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1);[/latex]

[latex]F”(x)=f”(x).[/latex]

因此,若 [latex]f”(x) \geqslant 0,[/latex] 则 [latex]F”(x) \geqslant 0,[/latex] 即 [latex]F(x)[/latex] 为凹函数,因此有:

[latex]F(x) \leqslant F(0)=F(1)=0 \Rightarrow F(x) \leqslant 0 \Rightarrow f(x)-g(x) \leqslant 0 \Rightarrow f(x) \leqslant g(x).[/latex]

因此,正确的选项是:D

EOF

Elon Musk 展示猎鹰 9 火箭再入大气层时突破音障的图片

Elon Musk 于当地时间 2019 年 07 月 28 日在 Twitter 上展示了一张猎鹰 9 火箭再入大气层后突破音障时的图片 (Figure 1),并说道:

Falcon 9 piercing the sound barrier on reentry.

twitter.com/elonmusk/
Figure 1. from: twitter.com/elonmusk/

EOF

GitHub 限制伊朗用户的账户

一位名叫 Hamed 的伊朗软件开发者近日发表了一篇文章 (GitHub blocked my account and they think I’m developing nuclear weapons), 文章中 Hamed 讲述了自己的 GitHub 账户被限制的经历。

Figure 1 是 Hamed 的 GitHub 个人页面截图,可以看到一段黄色的警示文字:

Figure 1. from https://medium.com/@hamed

Hamed 居住在伊朗,2012 年的时候,他开始使用 GitHub. 在 GitHub 于 2019 年 01 月宣布私有仓库免费之后,Hamed 更是将自己的项目都放到了 GitHub 上。虽然由于国际禁运的影响,Hamed 在参加完 Hacktoberfest 活动之后没能收到主办方发放的 T 恤衫,Hamed 也没觉得没有什么,毕竟他还可以继续使用 GitHub 提供的免费服务。

Hamed 收到的关于无法向他寄送 T 恤衫的邮件:

Figure 2. from https://medium.com/@hamed

但是,Hamed 却在 07 月 25 日突然收到了 GitHub 的邮件,告知他其 GitHub 账户已经被限制:

Figure 3. from https://medium.com/@hamed

根据 Hamed 的说法,GitHub 不仅限制了 Hamed 一个用户的账户,而是限制了所有伊朗用户,限制使用的功能包括代码仓库和 GitHub Pages.

GitHub 限制这些账户的理由是为了遵守美国的法律,因为 GitHub 是一家美国公司。但是这一事件也促使我们不得不思考,计算机科学技术领域的“自由”与“开放”的精神是否足够真实,这种“自由”与“开放”与国家的法律之间又该以怎样的方式共存?

国务院学位委员会:学位授予单位不再招收第二学士学位生

2019 年 07 月 26 日,国务院学位委员会在其官网发布了《学士学位授权与授予管理办法》。该管理办法第二十五条如下:

第二十五条 自本办法实施之日起,学位授予单位不再招收第二学士学位生。

http://www.moe.edu.cn/srcsite/A22/yjss_xwgl/moe_818/201907/t20190726_392378.html

需要说明的是,所谓“第二学士学位”和“ 硕士学位 ”以及“双学位”都不一样。百度百科词条“第二学士学位”中对第二学士学位的解释如下:

根据《国家教育委员会、国家计划委员会、财政部关于印发〈高等学校培养第二学士学位生的试行办法〉》((87)教计字105号)的规定:第二学士学位在层次上属于大学本科后教育,与培养研究生一样,同是培养高层次专门人才的一种途径。第二学士学位授予资格,需经教育部审批,只有教育部批准设置第二学士学位专业的高等学校才有权颁发第二学士学位证书。限在部分办学历史较久,师资力量较强,教学科研水平较高的本科院校中试行。入学通过统一考试或政法干警考试,部分学校只向本校学生和双一流高校本科生招生。教育部现行文件中,没有关于双学位的提法或相关文件。大学毕业并获得学士学位的人员(包括普通高校全日制应届毕业生),经过设有第二学士学位专业的高等学校组织的资格审查与入学考试、考核,择优录取入学。考生必须全日制脱产学习二年。入学英语难度参考英语四、六级。经各科考试合格,取得毕业和授予学士学位资格者,可授予第二学士学位。获得第二学士学位者,毕业后起点工资与研究生班毕业生工资待遇相同;未获得第二学士学位者,仍按本科毕业生对待。根据《教育部关于印发<高等学校学生学籍学历电子注册办法>的通知(教学[2014]11号)》第八条第三款规定,普通高校学生(含专科、本科、硕士、博士、专科起点本科、第二学士学位等)在同一学习时段,只注册一个普通全日制学籍。第二学士学位和全日制专升本一样,属于普通高等教育全日制学历学位。

https://baike.baidu.com/item/第二学士学位/3051743
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2013 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设随机变量 [latex]Y[/latex] 服从参数为 [latex]1[/latex] 的指数分布,[latex]a[/latex] 为常数且大于零,则 [latex]P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=[/latex]____.

解析

本题涉及的知识点是指数分布。

指数分布中随机变量的取值区间是 [latex][0,\infty),[/latex] 如果一个随机变量呈指数分布,则可以记作:

[latex]X \sim E(\lambda),(\lambda > 0).[/latex]

在指数分布(以及其他连续性随机变量的概率模型)中有两个和概率有关的函数,分别是“概率密度函数”和“概率分布函数”。

首先我们需要搞清楚“概率密度函数”和“概率分布函数”的区别,这样我们才能知道该用哪个公式解答本题。

概率密度函数

连续性随机变量中的“概率密度函数”对应于离散型随机变量中的“概率函数”。概率密度函数描述的是单独一个特定的随机变量的概率。

指数分布的概率密度函数公式表示如下:

[latex]f(x)=\left\{\begin{matrix} \lambda e^{-\lambda x},x>0& \\ 0,x \leqslant 0& \end{matrix}\right.[/latex]

上面的概率密度函数中,[latex]x[/latex] 为随机变量。

概率分布函数

连续性随机变量中的“概率分布函数”对应于离散型随机变量中的“概率分布列表”。概率分布函数描述的是一系列(通常是整个概率模型取值范围内)的随机变量对应的概率。

指数分布的概率分布函数公式表示如下:

[latex]F(x;\lambda )=\left\{\begin{matrix} 1-e^{-\lambda x},x \geqslant 0& \\ 0,x < 0& \end{matrix}\right.[/latex]

上面的概率分布函数中,[latex]x[/latex] 为随机变量,[latex]\lambda[/latex] 为率参数,[latex]\lambda[/latex] 描述的是每单位时间内发生某事件的次数。

根据上面的概率分布函数,我们知道,在服从参数 [latex]\lambda[/latex] 的指数分布中,我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率:

[latex]P\{X \leqslant x\}=F(x)=1-e^{-\lambda x},(x>0)[/latex]

此外,如果令 [latex]\theta = \frac{1}{\lambda},[/latex] 则在服从参数为 [latex]\theta[/latex] 的指数分布中,我们可以使用如下公式计算“一个区间”内的概率:

[latex]P\{X \leqslant x\}=F(x)=1-e^{- \frac{x}{\theta }},(x>0)[/latex]

经过上面的分析,再结合题目中给出的信息,我们现在知道,应该使用指数分布中的概率分布函数解答本题。

由于该指数分布的参数为 [latex]1[/latex], 于是我们知道 [latex]\lambda = 1.[/latex]
之后,根据条件概率公式:

[latex]P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} , (P(A) > 0.)[/latex]

我们可以对原式作如下转换:

[latex]P\{Y \leqslant a+1 | Y>a\}=\frac{P(Y \leqslant a + 1) \cap P(Y > a)}{P(Y>a)}=\frac{P( a < Y \leqslant a+1)}{P(Y>a)}=\frac{ F(a+1)-F(a)}{ 1 – F(a) }=\frac{1-e^{-(a+1)}-(1-e^{-a})}{1-(1-e^{-a})}=\frac{-e^{-(a+1)}+e^{-a}}{e^{-a}}=\frac{e^{-a}-e^{-a-1}}{e^{-a}}=\frac{e^{-a}(1-e^{-1})}{e^{-a}}=1-e^{-1}.[/latex]

综上可知,本题的正确选项是:[latex]1-e^{-1}[/latex]

EOF

2011 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设二维随机变量 [latex](X,Y)[/latex] 服从正态分布 [latex]N(\mu,\mu;\sigma^{2},\sigma^{2};0),[/latex] 则 [latex]E(XY^{2})=[/latex]____.

解析

由于在正态分布 [latex]X \sim N(\mu, \sigma^{2})[/latex] 中 [latex]E(X)=\mu,D(X)=\sigma^{2}.[/latex] 而且二维正态分布中依然遵循这一定理。

于是,根据题目中的条件我们知道,[latex]E(X)=E(Y)=\mu,D(X)=D(Y)=\sigma^{2}.[/latex]

又由 [latex]\rho=0[/latex] 我们知道,[latex]X[/latex] 与 [latex]Y[/latex] 相互独立。根据随机变量的独立性中的如下性质:

若 [latex]X_{1},X_{2},\dots , X_{n},Y_{1},Y_{2},\dots , Y_{m}[/latex] 相互独立,[latex]f(\cdot)[/latex] 为 [latex]n[/latex] 元连续函数且 [latex]g(\cdot)[/latex] 为 [latex]m[/latex] 元连续函数,则 [latex]f(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{n})[/latex] 与 [latex]g(X_{1},X_{2}, \cdots , X_{m})[/latex] 也相互独立。

因此,我们知道,[latex]X[/latex] 与 [latex]Y^{2}[/latex] 也相互独立,于是有:
[latex]E(XY^{2})=E(X)E(Y^{2})=E(X) \times [D(Y)+E^{2}(Y)]=\mu(\sigma^{2}+\mu^{2}).[/latex]

综上可知,本题的正确答案是:[latex]\mu(\sigma^{2}+\mu^{2})[/latex]

EOF

2015 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设二维随机变量 [latex](X,Y)[/latex] 服从正态分布 [latex]N(1,0;1,1;0),P\{XY-Y<0\}=[/latex]____.

解析

解答本题需要掌握正态分布和二维正态分布两部分知识。

正态分布

正态分布通常用下面的公式表示:

[latex]X \sim N(\mu,\sigma^{2}).[/latex]

其中 [latex]\mu[/latex] 表示数学期望(或称“均数”),[latex]\sigma^{2}[/latex] 表示方差,[latex]\sigma[/latex] 表示标准差。

参数 [latex]\mu[/latex] 决定了正态分布的分布图像在坐标系中的位置,正态分布的图像以 [latex]x= \mu[/latex] 为对称轴,左右完全对称。在正态分布中,[latex]数学期望=均数=中位数=众数= \mu.[/latex]

参数 [latex]\sigma^{2}[/latex] 决定了正态分布中随机变量的离散程度,[latex]\sigma[/latex] 越小,数据就越集中,反之,若 [latex]\sigma[/latex] 越大,数据就越集中。反应在正态分布的图像中就是,当 [latex]\sigma[/latex] 越小的时候,正态分布的图像越窄高,[latex]\sigma[/latex] 越大的时候,正态分布的图像越扁平。

正态分布的图像在 [latex](\mu – \sigma, \mu + \sigma)[/latex] 区间内存在拐点,拐点附近的形状上表现为中间高两边低的特点。

特别地,[latex]X \sim N(0,1)[/latex] 为标准正态分布,其分布图象关于 [latex]y[/latex] 轴对称。

如图 1 是几种不同的正态分布图像,反映了参数 [latex]\mu[/latex] 和 [latex]\sigma[/latex] 对正态分布图像的影响,其中红色线表示的为标准正态分布:

图 1. 由Inductiveload – self-made, Mathematica, Inkscape,公有领域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=3817954

二维正态分布

二维正态分布可记作如下形式:

[latex](X,Y) \sim N(\mu_{1},\mu_{2};\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2};\rho).[/latex]

在本题中,需要用到关于二维正态分布的如下两个性质:

① [latex]X \sim N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2});Y \sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2});[/latex]

② [latex]X[/latex] 与 [latex]Y[/latex] 独立的充要条件是 [latex]\rho=0.[/latex]
我们可以使用如下 MATLAB 代码绘制二维正态分布条件概率密度函数图像:

x=-5:0.01:5;
y=-5:0.01:5;
mu=[-1,2];
sigma=[1 1; 1 3]; %输入均值向量和协方差矩阵,可以根据需要修改
[X,Y]=meshgrid(x,y); %产生网格数据并处理
p=mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,sigma);
P=reshape(p,size(X)); %求取联合概率密度
figure(2)
surf(X,Y,P)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数图像');

我在 MATLAB R2016b 上运行上述代码得到的二维正态分布条件概率密度函数图像如图 2 所示:

图 2. 二维正态分布条件概率密度函数图像

关于本题所用到的知识点的介绍就到这里结束,下面是具体的做题过程。

由题可知,[latex]\rho=0,[/latex] 因此,[latex]X[/latex] 与 [latex]Y[/latex] 相互独立,根据“随机变量的独立性”中的定理,我们知道,这也就意味着:

[latex]P\{X,Y\}=P\{X\}P\{Y\}.[/latex]

于是,我们有:

[latex]P\{XY-Y<0\}=P\{Y(X-1)<0\}=P\{Y>0,X-1<0\}+P\{Y<0,X-1>0\}=P\{Y>0,X<1\}+P\{Y<0,X>1\}=P\{Y>0\}P\{X<1\}+P\{Y<0\}P\{X>1\}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}.[/latex]

综上可知,本题的正确答案是:[latex]\frac{1}{2}[/latex]

EOF

2012 年研究生入学考试数学一选择题第 5 题解析

题目

设 [latex]a_{1}=\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ c_{1} \end{bmatrix},a_{2}=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ c_{2}\end{bmatrix},a_{3}=\begin{bmatrix} 1\\ -1\\ c_{3} \end{bmatrix},a_{4}=\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ c_{4}\end{bmatrix},[/latex] 其中 [latex]c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}[/latex] 为任意常数,则下列向量组线性相关的为 ( )

( A ) [latex]a_{1},a_{2},a_{3}.[/latex]

( B ) [latex]a_{1},a_{2},a_{4}.[/latex]

( C ) [latex]a_{1},a_{3},a_{4}.[/latex]

( D ) [latex]a_{2},a_{3},a_{4}.[/latex]

解析

解答本题需要关于“线性相关”的知识。在向量组 [latex]a_{1},a_{2},\dots a_{n}[/latex] 线性相关的结论中,有这样一个结论:

[latex]n[/latex] 个 [latex]n[/latex] 维向量 [latex]a_{1},a_{2},\dots a_{n}[/latex] 线性相关 [latex]\Leftrightarrow[/latex] 行列式 [latex]|a_{1},a_{2},\dots,a_{n}|=0.[/latex]

上面的结论中提到了 “[latex]n[/latex] 维向量”, 其实 “[latex]n[/latex] 维向量” 是两种向量的合称,第一种叫 “[latex]n[/latex] 维列向量”,即 [latex]n[/latex] 行 [latex]1[/latex] 列,形如:

[latex]a=\begin{bmatrix}a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\end{bmatrix}.[/latex]
第二种叫 “[latex]n[/latex] 维行向量”,即 [latex]1[/latex] 行 [latex]n[/latex] 列,形如:

[latex]b=\begin{bmatrix}b_{1},b_{2},\dots,b_{n}\end{bmatrix}.[/latex]
观察可知,题目中给出的是 [latex]3[/latex] 维列向量,选项中给出的向量的排布组合方式是横向的,因此组合形成的是 [latex]3[/latex] 行 [latex]3[/latex] 列的向量组,符合使用上述有关结论的条件。

此外,为了方便计算,这里还需要介绍一种计算行列式数值的简便方法,如下:
只要主对角线的两侧有任一侧有用 [latex]0[/latex] 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

[latex]\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}&0\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& \star& \star\\ 0& \lambda_{2}& \star\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\lambda_{1}& 0& 0\\ \star& \lambda_{2}& 0 \\ \star& \star& \lambda_{3} \end{bmatrix}=\lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.[/latex]

注:上述公式中 [latex]\star[/latex] 所在的区域表示该区域不是全部由 [latex]0[/latex] 填充。

只要副对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算:

[latex]\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}&0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\star& \star& \lambda_{1}\\ \star& \lambda_{2}& 0\\ \lambda_{3}& 0& 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0& 0& \lambda_{1}\\ 0& \lambda_{2}& \star \\ \lambda_{3}& \star& \star \end{bmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \times \lambda_{1} \times \lambda_{2} \times \lambda_{3}.[/latex]

注:上述公式中 [latex]\star[/latex] 所在的区域表示该区域不是全部由 [latex]0[/latex] 填充。

下面开始逐个选项进行计算并判断相关性。

A 项:

[latex]\begin{vmatrix}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_{1}& c_{2}& c_{3}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3 \times 2}{2}}\times1\times1\times c_{1}=-c_{1}.[/latex]

当 [latex]-c_{1} \neq 0[/latex] 时,[latex]a_{1},a_{2},a_{3}[/latex] 的线性相关不成立。

B 项:

[latex]\begin{vmatrix}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_{1}& c_{2}& c_{4}\end{vmatrix}=(-1)^{\frac{3\times2}{2}}\times (-1) \times 1 \times c_{1}=c_{1}.[/latex]
当 [latex]c_{1} \neq 0[/latex] 时,[latex]a_{1},a_{2},a_{4}[/latex] 的线性相关不成立。

C 项:

[latex]\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_{1}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{1}-c_{1}=0, 恒成立.[/latex]

[latex]a_{1},a_{3},a_{4}[/latex] 的线性相关性恒成立。

D 项:

[latex]\begin{vmatrix}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_{2}& c_{3}& c_{4}\end{vmatrix}=c_{2}-c_{3}-c_{2}-c_{4}=-c_{3}-c_{4}.[/latex]

当 [latex]-c_{3}-c_{4} \neq 0[/latex] 时,[latex]a_{2},a_{3},a_{4}[/latex] 的线性相关不成立。

综上可知,本题的正确选项是:C

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2010 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设随机变量 [latex]X[/latex] 的概率分布为 [latex]P{X=k}=\frac{C}{k!},k=0,1,2,\dots.[/latex], 则 [latex]E(X^{2})=[/latex]__.

解析

根据题目中给出的分布函数(概率分布函数)的形式,我们可以知道,这是一个泊松分布。

泊松分布的公式如下:

[latex]P{X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},(k=0,1,2,\dots).[/latex]

于是我们有:

[latex]C=\lambda^{k}e^{-\lambda}.[/latex]

由于在泊松分布中,[latex]D(X)=E(X)=\lambda.[/latex]

而且我们知道 [latex]D(X)[/latex] 和 [latex]E(X)[/latex] 有如下关系:

[latex]D(X)=E(X^2)-E^{2}(X) \Rightarrow E(X^{2})=D(X)+E^{2}(X)=\lambda+\lambda^{2}.[/latex]

因此,只要我们求出 [latex]\lambda[/latex] 的数值,也就是用 [latex]C[/latex] 表示出 [latex]\lambda[/latex] 就可以解出答案。

但是,这个思路是走不通的,一是因为通过 [latex]C=\lambda^{k}e^{-\lambda}[/latex] 用 [latex]C[/latex] 表示出 [latex]\lambda[/latex] 的计算十分复杂,其二是因为即便能够用 [latex]C[/latex] 表达出 [latex]\lambda[/latex], 那么表达式中也会含有未知变量 [latex]k[/latex].

因此可知,这道题还需要找一些隐含的条件,走另外的解题思路。

既然从源头开始想出来的解题思路有问题,那么我们就倒着想,看看为了计算出最终的结果,我们需要哪些条件。我们可以确定的是,无论采取哪种方法,要想解出 [latex]E(X^{2})[/latex], 就必须知道 [latex]D(X)[/latex] 和 [latex]E^{2}(X)[/latex], 因此(根据泊松分布的特性)我们需要知道 [latex]\lambda[/latex] 的数值,而要知道 [latex]\lambda[/latex] 的数值必然需要通过已知的常数 [latex]C[/latex] 来确定,根据公式,[latex]C[/latex] 与 [latex]\lambda[/latex] 同时出现的情况只在下面这个公式中存在:

[latex]\frac{C}{k!}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}.[/latex]

但是,上面这个公式中存在一个未知量 [latex]k.[/latex]

至此,无论我们接下来采取什么解题思路,一个首要的问题就是要移除未知量 [latex]k[/latex] 这个障碍。

如何移除呢?题目中并没有给出 [latex]k[/latex] 的值,也没有可供解出 [latex]k[/latex] 的关系式。不过,既然要解出 [latex]k[/latex] 就先来想想 [latex]k[/latex] 的含义吧。

在泊松分布的定义中,[latex]X[/latex] 是随机变量,由泊松分布公式中的 “[latex]P{X=k}[/latex]” 我们知道,[latex]k[/latex] 就是用来给 [latex]X[/latex] 赋值的,不同的 [latex]k[/latex] 值对应不同的概率,而 [latex]k[/latex] 的取值范围是 [latex]0,1,2,\dots n.[/latex] 根据概率分布函数的特点我们知道,在一次随机实验中,一定会有一个随机变量发生,如果我们手里有全部的随机变量,那么在任何一次实验中都会有一个随机变量在我们手里发生,从整体上看这就是一个必然事件。

于是,我们知道,如果让 [latex]k[/latex] 取到所有可能取到的值并计算概率,之后把这些概率相加,那么和一定是 [latex]1[/latex], 即:

[latex]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C}{k!}=C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=1.[/latex]

这里需要我们知道一个额外的知识点,就是自然常数(自然对数的底数) [latex]e[/latex] 的表示方法。

[latex]e[/latex]

有两种表示方法,如下:

方法一:[latex]e=\lim_{n \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^{n}.[/latex]

方法二:[latex]e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots\frac{1}{n!}.[/latex]

注意:[latex]0!=1.[/latex]

于是,我们有:

[latex]C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=Ce=1 \Rightarrow C=\frac{1}{e}=e^{-1}.[/latex]

又因为 [latex]C=\lambda^{k}e^{-\lambda},[/latex] 我们有:

[latex]\lambda^{k}e^{-\lambda}=e^{-1}.[/latex]

于是有:

[latex]\lambda=1,k=1.[/latex]

到这里就解出 [latex]\lambda[/latex] 的数值了,再结合前面的分析,我们就可以解出 [latex]E(X^{2}):[/latex]

[latex]E(X^2)=\lambda+\lambda^{2}=1+1^{2}=1+1=2.[/latex]

综上可知,本题的正确答案是:2

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2012 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

题目

设 [latex]A,B,C[/latex] 是随机事件,[latex]A[/latex] 与 [latex]C[/latex] 互不相容,[latex]P(AB)=\frac{1}{2},P(C)=\frac{1}{3},[/latex] 则 [latex]P(AB|\bar{C})=[/latex]__.

解析

[latex]A[/latex]与 [latex]C[/latex] 互不相容 [latex]\Rightarrow[/latex] [latex]A \cap C = \phi \Rightarrow P(AC)=P(\phi)=P(\phi \cap B) \Rightarrow P(AC \cap B)=0.[/latex]

于是,我们有:

[latex]P(AB|\bar{C})=\frac{P(AB \bar{C})}{P(\bar{C})}=\frac{P[AB(1-C)]}{1-P(C)}=\frac{P(AB-ABC)}{1-P(C)}=\frac{P(AB)-P(AB \cap ABC)}{1-P(C)}=\frac{P(AB)-P(ABC)}{1-P(C)}=\frac{\frac{1}{2}-0}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2} \times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}.[/latex]

综上可知,正确答案:[latex]\frac{3}{4}.[/latex]

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2008 年研究生入学考试数学一选择题第 6 题解析

题目

设随机变量 [latex]X[/latex] 服从参数为 [latex]1[/latex] 的泊松分布,则 [latex]P {X=E(X^{2})}=[/latex]__.

解析

每年考研数学一试卷中填空题的最后一题基本都是考一个概率论中的知识。本题考察的知识很明确,就是:泊松分布。

泊松分布的概念如下:

设随机变量 [latex]X[/latex] 的概率分布为:

[latex]P {X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!} (\lambda>0,k=0,1,2,3 \dots)[/latex]

则称 [latex]X[/latex] 服从参数为 [latex]\lambda[/latex] 的泊松分布,记为 [latex]X \backsim P(\lambda).[/latex]

此外,在泊松分布中,数学期望 [latex]E(X)=\lambda,[/latex] 方差 [latex]D(X)=\lambda.[/latex]

最后,我们还需要知道 [latex]E(X)[/latex] 与 [latex]D(X)[/latex] 的关系公式:

[latex]D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.[/latex]

由题目信息可知,该题中泊松分布的参数 [latex]\lambda=1[/latex], 于是我们知道:

[latex]E(X)=D(X)=1.[/latex]

由于题目中要求的表达式中含有 “[latex]E(X^{2})[/latex]”, 而在 [latex]E(X)[/latex] 与 [latex]D(X)[/latex] 的关系式中也含有 “[latex]E(X^{2})[/latex]”, 于是,我们有:

[latex]E(X^{2})=D(X)+[E(X)]^{2}.[/latex]

进而有:

[latex]E(X^{2})=1+1^{2}=1+1=2.[/latex]

于是,我们要求的表达式就变成了:

[latex]P{X=E(X^{2})} \Rightarrow P{X=2}.[/latex]

至此,我们已经知道了泊松分布的计算公式中的两个未知量的数值,分别是:

[latex]\lambda=1,k=E(X^{2})=2.[/latex]

于是,根据泊松分布的计算公式,我们有:

[latex]P=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}=\frac{e^{-1}}{2 \times 1}=\frac{1}{e} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2e}.[/latex]

综上可知,正确答案就是:[latex]\frac{1}{2e}[/latex]

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阿波罗11号制导计算机中指令模块和登月模块原始代码已在 GitHub 上开源

维基百科上“阿波罗11号”词条下对阿波罗 11 号的介绍如下:

阿波罗11号(英语:Apollo 11)是美国国家航空航天局的阿波罗计划中的第五次载人任务,是人类第一次登月任务,歷時8天13小時18分35秒,繞行月球30周,在月表停留21小時36分20秒。三位执行此任务的宇航员分别为指令长尼尔·阿姆斯特朗、指令舱驾驶员迈克尔·科林斯与登月舱驾驶员巴兹·奥尔德林。1969年7月20日,阿姆斯特朗与奥尔德林成为了首次踏上月球的人类,而阿波羅11號登陸月球一事更進一步成為紀錄片和廣告常見之歷史事件。

阿波罗11号的成功实现了美国总统约翰·肯尼迪在1961年5月25日的演说中声称美国会在1970年以前“把一个宇航员送到月球上并把他安全带回来”的目标。

https://w.upupming.site/wiki/阿波罗11号

目前阿波罗11号制导计算机 (AGC) 中指令模块 (Comanche055) 和登月模块 (Luminary099) 的原始代码已经由虚拟 AGCMIT 科学博物馆 的伙计们完成电子化并在 GitHub 上开源,项目地址:

https://github.com/chrislgarry/Apollo-11

Apollo 11 mission patch (阿波罗 11 号任务徽章):

Figure 1. Credits: NASA, from: https://www.nasa.gov/mission_pages/apollo/missions/apollo11.html

装载着阿波罗 11 号的土星 5 号运载火箭 (拍摄于 1969 年 07 月 16 日):

Figure 2. 由NASA – The Project Apollo Image Gallery (image link),公有领域,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=362467

阿波罗 11 号制导计算机 (AGC) 中指令模块 (Comanche055) 的其中一张原始代码扫描件:

Figure 3. from: http://www.ibiblio.org/apollo/ScansForConversion/Comanche055/0001.jpg

阿波罗 11 号制导计算机 (AGC) 中登月模块 (Luminary099) 的其中一张原始代码扫描件:

Figure 4. from: http://www.ibiblio.org/apollo/ScansForConversion/Luminary099/0002.jpg

今年 (2019 年) 是阿波罗登月成功 50 周年,在此,荒原之梦向勇于探索未知,敢于挑战高峰的科技先驱和宇航英雄们致敬!在征服宇宙的征途上,每一小步都是伟大的进步!

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一名白帽黑客因发现 Tesla Model 3 中软件的 XSS 漏洞而获得一万美元的奖励

Tesla Motors Logo:

图 1. from: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tesla_Motors.svg

这位白帽黑客名叫 Sam Curry. Curry 发现的这个跨站脚本攻击漏洞 (XSS) 可以被用来非授权地获取车辆信息,例如车辆的 VIN, 速度,温度,是否锁定,胎压,警报,时区等信息。Curry 在自己的 Tesla 汽车上利用 XSS Hunter 的攻击载荷对该漏洞进行了攻击,获取到了如下信息:

VIN: 5YJ3E13374KF2313373

Car Type: 3 P74D

Birthday: Mon Mar 11 16:31:37 2019

Car Version: develop-2019.20.1-203-991337d

Car Computer: ice

SOE / USOE: 48.9, 48.9 %

SOC: 54.2 %

Ideal energy remaining: 37.2 kWh

Range: 151.7 mi

Odometer: 4813.7 miles

Gear: D

Speed: 81 mph

Local Time: Wed Jun 19 15:09:06 2019

UTC Offset: -21600

Timezone: Mountain Daylight Time

BMS State: DRIVE

12V Battery Voltage: 13.881 V

12V Battery Current: 0.13 A

Locked?: true

UI Mode: comfort

Language: English

Service Alert: 0X0

https://samcurry.net/cracking-my-windshield-and-earning-10000-on-the-tesla-bug-bounty-program/

Tesla Model 3:

图 2. 由Carlquinn – 自己的作品,CC BY-SA 4.0,https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=65368295

Curry 随后把该漏洞报告给了 Tesla 的漏洞奖金程序,在大约 12 小时之后,Tesla 即推出了针对该漏洞的热更新。Tesla 认为这是一个严重漏洞,并在两周之后向 Curry 支付了 $10, 000 的漏洞奖金。