2019年考研数二第15题解析：复合函数求导、分段函数、极值、极限

题目

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^{2x},x>0\\ x{e}^x+1,x⩽0,\end{array}$ 求 $f^{‘}(x)$, 并求 $f(x)$ 的极值.

解析

本题中的函数 $f(x)$ 是一个分段函数，因此，在计算的过程中要特别注意对分段点处的讨论。

当 $x>0$ 时：

$$f^{‘}(x)=(x^{2x}{)}^{‘}.$$

但是，观察可知，$x^{2x}$ 既不形如 $x^a$, 也不形如 $a^x$, 因此，【不能】使用如下公式求导：

$$\{\begin{array}{c}(x^a{)}^{‘}=a{x}^{a–1},a\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数};\\ (a^x{)}^{‘}=a^x\ln a,a\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数}.\end{array}$$

对 $x^{2x}$ 进行求导的方法如下：

$$f(x)=(x^{2x})\Rightarrow$$

$$\ln f(x)=\ln x^{2x}\Rightarrow$$

$$\ln f(x)=2x\cdot \ln x\Rightarrow$$

$$\mathrm{等}\mathrm{号}\mathrm{两}\mathrm{边}\mathrm{同}\mathrm{时}\mathrm{求}\mathrm{导}\Rightarrow$$

$$\frac{1}{f(x)}\cdot f^{‘}(x)=2(\ln x+x\cdot \frac{1}{x})\Rightarrow$$

$$\frac{1}{f(x)}\cdot f^{‘}(x)=2(\ln x+1)\Rightarrow$$

$$f^{‘}(x)=(x^{2x}{)}^{‘}=2f(x)(\ln x+1)\Rightarrow$$

$$f^{‘}(x)=2x^{2x}(\ln x+1),x>0.$$

当 $x<0$ 时：

$$f^{‘}(x)=(x{e}^x+1{)}^{‘}\Rightarrow$$

$$f^{‘}(x)=(x{e}^x{)}^{‘}\Rightarrow$$

$$f^{‘}(x)=(e^x+x{e}^x)\Rightarrow$$

$$f^{‘}(x)=e^x(x+1),x<0.$$

当 $x=0$ 时：

由于：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^{2x}–0^0}{x–0}=$$

可以认为：$0^0=1$.

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^{2x}–1}{x}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{e^{\ln x^{2x}}–1}{x}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{e^{2x\cdot \ln x}–1}{x}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{2x\cdot \ln x}{x}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}2\cdot \ln x=–\mathrm{\infty }.$$

于是可知，$f^{‘}(0)$ 不存在。

综上，有：

$$\{\begin{array}{c}{f}^{‘}(x)=2x^{2x}(\ln x+1),x>0;\\ f^{‘}(x)=e^x(x+1),x<0.\end{array}$$

接下来开始求 $f(x)$ 的极值。

令 $f^{‘}(x)=0$, 则：

$$\{\begin{array}{c}2x^{2x}(\ln x+1)=0,x>0;\\ e^x(x+1)=0,x<0.\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}\ln x+1=0,x>0;\\ x+1=0,x<0.\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}{\log }_e^x=-1,x>0;\\ x=-1,x<0.\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{e};\\ x=-1.\end{array}$$

因此，我们可以将函数 $f(x)$ 的定义域分成如下 $4$ 个部分进行讨论：

$$\{\begin{array}{c}(-\mathrm{\infty },-1);\\ (-1,0);\\ (0,\frac{1}{e});\\ (\frac{1}{e},+\mathrm{\infty }).\end{array}$$

接着，有：

当 $x\in (-\mathrm{\infty },-1)$ 时，$f^{‘}(x)<0$;

当 $x\in (-1,0)$ 时，$f^{‘}(x)>0$;

当 $x\in (0,\frac{1}{e})$ 时，$f^{‘}(x)<0$;

当 $x\in (\frac{1}{e},+\mathrm{\infty })$ 时，$f^{‘}(x)>0$.

综上，可知：

$f(x)$ 的【极大值】为：

$$f(-1)=1–\frac{1}{e};$$

$$f(\frac{1}{e})=(\frac{1}{e}{)}^{\frac{2}{e}}=e^{-1\cdot \frac{2}{e}}=e^{\frac{-2}{e}}.$$

$f(x)$ 的【极小值】为：

$$f(0)=1.$$