题目
已知函数 $f(x) = \left\{\begin{matrix}
x^{2x}, x > 0\\
xe^{x} + 1, x \leqslant 0,
\end{matrix}\right.$ 求 $f^{‘}(x)$, 并求 $f(x)$ 的极值.
解析
本题中的函数 $f(x)$ 是一个分段函数，因此，在计算的过程中要特别注意对分段点处的讨论。
当 $x > 0$ 时：
$$
f^{‘}(x) = (x^{2x})^{‘}.
$$
但是，观察可知，$x^{2x}$ 既不形如 $x^{a}$, 也不形如 $a^{x}$, 因此，【不能】使用如下公式求导：
$$
\left\{\begin{matrix}
(x^{a})^{‘} = ax^{a – 1}, a 为常数;\\
(a^{x})^{‘} = a^{x} \ln a, a 为常数.
\end{matrix}\right.
$$
对 $x^{2x}$ 进行求导的方法如下：
$$
f(x) = (x^{2x}) \Rightarrow
$$
$$
\ln f(x) = \ln x^{2x} \Rightarrow
$$
$$
\ln f(x) = 2x \cdot \ln x \Rightarrow
$$
$$
等号两边同时求导 \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{f(x)} \cdot f^{‘}(x) = 2 (\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{f(x)} \cdot f^{‘}(x) = 2 (\ln x + 1) \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(x) = (x^{2x})^{‘} = 2 f(x) (\ln x + 1) \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
f^{‘}(x) = 2 x^{2x} (\ln x + 1), x > 0}.
$$
当 $x < 0$ 时：
$$
f^{‘}(x) = (xe^{x} + 1)^{‘} \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(x) = (xe^{x})^{‘} \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(x) = (e^{x} + xe^{x}) \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
f^{‘}(x) = e^{x}(x + 1), x < 0}.
$$
当 $x = 0$ 时：
由于：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2x} – 0^{0}}{x – 0} =
$$
可以认为：$0^{0} = 1$.
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2x} – 1}{x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{\ln x^{2x}} – 1}{x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{2x \cdot \ln x} – 1}{x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{2x \cdot \ln x}{x} =
$$
$$
{\color{Red}
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} 2 \cdot \ln x = – \infty}.
$$
于是可知，$f^{‘}(0)$ 不存在。
综上，有：
$$
{\color{Red}
\left\{\begin{matrix}
f^{‘}(x) = 2 x^{2x} (\ln x + 1), x > 0;\\
f^{‘}(x) = e^{x}(x + 1), x < 0.
\end{matrix}\right.}
$$
接下来开始求 $f(x)$ 的极值。
令 $f^{‘}(x) = 0$, 则：
$$
{\color{Red}
\left\{\begin{matrix}
2 x^{2x} (\ln x + 1) = 0, x > 0;\\
e^{x}(x + 1) = 0, x < 0.
\end{matrix}\right.}
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
\ln x + 1 = 0, x > 0;\\
x + 1 = 0, x < 0.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{matrix}
\log_{e}^{x} = -1, x > 0;\\
x = -1, x < 0.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\left\{\begin{matrix}
x = \frac{1}{e};\\
x = -1.
\end{matrix}\right.}
$$
因此，我们可以将函数 $f(x)$ 的定义域分成如下 $4$ 个部分进行讨论：
$$
{\color{Red}
\left\{\begin{matrix}
(- \infty, -1);\\
(-1, 0);\\
(0, \frac{1}{e});\\
(\frac{1}{e}, + \infty).
\end{matrix}\right.}
$$
接着，有：
当 $x \in (- \infty, -1)$ 时，$f^{‘}(x) < 0$;
当 $x \in (-1, 0)$ 时，$f^{‘}(x) > 0$;
当 $x \in (0, \frac{1}{e})$ 时，$f^{‘}(x) < 0$;
当 $x \in (\frac{1}{e}, + \infty)$ 时，$f^{‘}(x) > 0$.
综上，可知：
$f(x)$ 的【极大值】为：
$$
{\color{Red}
f(-1) = 1 – \frac{1}{e}};
$$
$$
{\color{Red}
f(\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e})^{\frac{2}{e}} = e^{-1 \cdot \frac{2}{e}} = e^{\frac{-2}{e}}}.
$$
$f(x)$ 的【极小值】为：
$$
{\color{Red}
f(0) = 1}.
$$