题目
已知常数 $k \geqslant \ln 2 – 1$. 证明：$(x-1)(x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1) \geqslant 0$
解析
令 $f(x) =$ $x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1$ $\quad (x > 0)$ 则：
$$
f^{‘}(x) = 1 – 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} + 2k \cdot \frac{1}{x} \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(x) = \frac{1}{x}(x – 2 \ln x + 2k).
$$
接着，令 $g(x) =$ $x – 2 \ln x + 2k$, 则：
$$
g^{‘}(x) = 1 – \frac{2}{x}.
$$
若令 $g^{‘}(x) = 0$, 则：
$$
g^{‘}(x) = 1 – \frac{2}{x} = 0 \Rightarrow
$$
$$
x = 2.
$$
又，当 $0 < x < 2$ 时，$g^{‘}(x) < 0$, 当 $x > 2$ 时，$g^{‘}(x) > 0$, 因此，$g(2)$ 是 $g(x)$ 的最小值, 且：
$$
g(2) = 2 – 2 \ln 2 + 2k \geqslant 2 – 2 ln 2 + 2(\ln 2 – 1) \Rightarrow
$$
$$
g(2) \geqslant 0 \Rightarrow
$$
$$
x – 2 \ln x + 2k > 0 \quad (x \neq 0).
$$
又，$x > 0$, 因此：
$$
f^{‘}(x) = \frac{1}{x}(x – 2 \ln x + 2k) > 0 \quad (x \neq 0).
$$
即，函数 $f(x)$ 在其定义域 $(0, + \infty)$ 上单调递增.
又，当 $x = 1$ 时：
$$
f(1) = 1 – 0 + 0 -1 = 0.
$$
于是：
- 当 $0 < x < 1$ 时，有：
$$
\left\{\begin{matrix}
x – 1 < 0;\\
f(x) = x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1 < 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
(x-1)(x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1) > 0.
$$
- 当 $x > 1$ 时，有：
$$
\left\{\begin{matrix}
x – 1 > 0;\\
f(x) = x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1 > 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
(x-1)(x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1) > 0.
$$
- 当 $x = 1$ 时，有：
$$
\left\{\begin{matrix}
x – 1 = 0;\\
f(x) = x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1 = 0
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
(x-1)(x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1) = 0.
$$
综上可知，当常数 $k \geqslant \ln 2 – 1$ 时，$(x-1)(x – \ln^{2} x + 2k \ln x – 1) \geqslant 0$ 恒成立.