2018年考研数二第15题解析：分部积分法、求导

题目

求不定积分：

$\int e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} d x .$

解析

由题可得：

$\int e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} d x \Rightarrow$

$\frac{1}{2} \int \arctan \sqrt{e^{x} - 1} d (e^{2 x}) \Rightarrow$

$\frac{1}{2} [e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \int e^{2 x} d (\arctan \sqrt{e^{x} - 1})] .$

又：

$(\arctan \sqrt{e^{x} - 1})^{‘} =$

$\frac{1}{1 + (\sqrt{e^{x} - 1})^{2}} \cdot (\sqrt{e^{x} - 1})^{‘} =$

$\frac{1}{e^{x}} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} \cdot e^{x} =$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} .$

于是：

$\frac{1}{2} [e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \int e^{2 x} d (\arctan \sqrt{e^{x} - 1})] \Rightarrow$

$\frac{1}{2} [e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} d x] \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{1}{4} \int e^{2 x} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} d x .$

又：

$(\sqrt{e^{x} - 1})^{‘} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} \cdot e^{x} = \frac{1}{2} \frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x} - 1}} .$

于是：

$\int e^{2 x} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} d x \Rightarrow$

$\int e^{x} \cdot e^{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} d x \Rightarrow$

$2 \int e^{x} d (\sqrt{e^{x} - 1}) \Rightarrow$

$2 [e^{x} \sqrt{e^{x} - 1} - \int \sqrt{e^{x} - 1} d (e^{x})] \Rightarrow$

$2 [e^{x} \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{2}{3} (e^{x} - 1)^{\frac{3}{2}}] + C .$

于是：

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{1}{4} \int e^{2 x} \cdot \frac{1}{\sqrt{e^{x} - 1}} d x \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{1}{4} \cdot 2 [e^{x} \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{2}{3} (e^{x} - 1)^{\frac{3}{2}}] + C \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{1}{2} [e^{x} \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{2}{3} (e^{x} - 1)^{\frac{3}{2}}] + C \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{1}{2} [e^{x} (e^{x} - 1)^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} (e^{x} - 1)^{\frac{3}{2}}] + C \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{1}{2} [(e^{x} - 1)^{\frac{1}{2}} [e^{x} - \frac{2}{3} (e^{x} - 1)]] + C \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - (e^{x} - 1)^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot [e^{x} - \frac{2}{3} (e^{x} - 1)] + C \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - (e^{x} - 1)^{\frac{1}{2}} \cdot [\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{3} (e^{x} - 1)] + C \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - (e^{x} - 1)^{\frac{1}{2}} \cdot [\frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{3} e^{x} + \frac{1}{3}] + C \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - (e^{x} - 1)^{\frac{1}{2}} \cdot [\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{3}] + C \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \sqrt{e^{x} - 1} \cdot \frac{1}{6} (e^{x} + 2) + C \Rightarrow$

$\frac{1}{2} e^{2 x} \arctan \sqrt{e^{x} - 1} - \frac{1}{6} (e^{x} + 2) \sqrt{e^{x} - 1} + C .$

题目

解析

相关文章：