2017年考研数二第22题解析：特征值、基础解系、非齐次线性方程组

题目

设 $3$ 阶矩阵 $A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$ 有 $3$ 个不同的特征值，且 ${\alpha }_3={\alpha }_1+2{\alpha }_2$.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 证明 $r(A)=2$;

$(\mathrm{Ⅱ})$ 若 $\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$, 求方程组 $Ax=\beta$ 的通解.

解析

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

由于 ${\alpha }_3={\alpha }_1+2{\alpha }_2$, 因此，${\alpha }_1$, ${\alpha }_2$ 和 ${\alpha }_3$ 是线性相关的，于是：

$$r(A)<3\Rightarrow r(A)⩽2.$$

又由于矩阵 $A$ 有 $3$ 个不同的特征值，那么，矩阵 $A$ 可以相似对角化，且矩阵 $A$ 至多只能有一个为零的特征值，于是：

$$r(A)⩾2.$$

综上：

$$\{\begin{array}{c}r(A)⩽2;\\ r(A)⩾2.\end{array}\Rightarrow$$

$$r(A)=2.$$

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

题目中要我们求解的是非齐次方程的通解，由“非齐通 = 齐通 + 非齐特”可知，我们只需要求解出 $Ax=0$ 的通解和 $Ax=\beta$ 的特解即可。

由题知：

$${\alpha }_3={\alpha }_1+2{\alpha }_2\Rightarrow$$

$${\alpha }_1+2{\alpha }_2–{\alpha }_3=0\Rightarrow$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]=0.$$

于是可知，$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]$ 是 $Ax=0$ 的一个解。

又由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问可知，$r(A)=2$, 由于 $3–2=1$, 于是，$Ax=0$ 的基础解系中只有一个解，即 $\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]$ 可以作为 $Ax=0$ 的一个基础解系，对应的通解就是：

$$k\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right],\mathrm{其}\mathrm{中}k\mathrm{为}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{常}\mathrm{数}.$$

又由题知：

$$\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3\Rightarrow$$

$$\beta =({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]=\beta .$$

于是可知，$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$ 是 $Ax=\beta$ 的一个特解。

综上可知，$Ax=\beta$ 的通解为：

$$k\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right],\mathrm{其}\mathrm{中}k\mathrm{为}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{常}\mathrm{数}.$$