2017年考研数二第19题解析：极限、导数、罗尔定理

题目

设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)>0$, $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)}{x}<0$. 证明：

$(\mathrm{Ⅰ})$ 方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 方程 $f(x)f^{”}(x)+$ $[f^{‘}(x){]}^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根.

解析

解答本题前，我们首先要明确如下概念：

计算【方程】的实根，就是计算对应的【函数】图像与 $X$ 轴的交点横坐标。例如，设函数 $f(x)=x^2+1$, 那么，其对应的方程就是 $f(x)=0\Rightarrow$ $x^2+1=0$, 而式子 $x^2+1=0$ 的解就是方程 $x^2+1=0$ 的实根，也就是可使函数 $f(x)=0$ 的值，即函数 $f(x)$ 与 $X$ 轴交点的横坐标.

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

由极限的保号性可知，在 $0^{+}$ 附近存在 $\delta >0$, 使得，当 $c\in (0,\delta )$ 时，有：

$$\frac{f(c)}{c}<0.$$

又 $c>0$, 于是：

$$f(c)<0.$$

进而，由 $f(1)>0$ 可知：

$$f(c)\cdot f(1)<0.$$

于是可知，至少存在一个实数 $x_0\in$ $[c,1)\subset (0,1)$, 使得下式成立：

$$f(x_0)=0.$$

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

由题可知，函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上二阶可导，因此，函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上一定连续.

又由题知，极限 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)}{x}$ 存在，于是：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)}{x}\mathrm{存}\mathrm{在}\Rightarrow$$

$$\frac{\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)}{\underset{x\to 0^{+}}{lim}x}\mathrm{存}\mathrm{在}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}x=0\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)=0\Rightarrow$$

$$f(0)=0.$$

又由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问可知：

$$f(x_0)=0,x_0\in (0,1).$$

于是，由罗尔定理可知，一定存在 $\xi \in (0,x_0)$, 使得下式成立：

$$f^{‘}(\xi )=0.$$

又由于：

$$[f(x)f^{‘}(x){]}^{‘}=f^{‘}(x)f^{‘}(x)+f(x)f^{”}(x)\Rightarrow$$

$$[f(x)f^{‘}(x){]}^{‘}=f(x)f^{”}(x)+[f^{‘}(x){]}^2.$$

于是，可令：

$$F(x)=f(x)f^{‘}(x).$$

即，判断方程 $f(x)f^{”}(x)+$ $[f^{‘}(x){]}^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 上的实根个数，就是判断方程 $F^{‘}(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 上的实根个数.

接着：

$$\{\begin{array}{c}f(0)=0;\\ f(x_0)=0,x_0\in (0,1);\\ f^{‘}(\xi )=0,\xi \in (0,x_0).\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}F(0)=f(0)f^{‘}(0)=0;\\ F(x_0)=f(x_0)f^{‘}(x_0)=0,x_0\in (0,1);\\ F(\xi )=f(\xi )f^{‘}(\xi )=0,\xi \in (0,x_0).\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{c}F(0)=0;\\ F(x_0)=0;\\ F(\xi )=0.\end{array}$$

于是，由罗尔定理可知：

1. 存在 $x_1\in (0,\xi )$, 使得 $F^{‘}(x_1)=0$ 成立；
2. 存在 $x_2\in (\xi ,x_0)$, 使得 $F^{‘}(x_2)=0$ 成立.

综上，至少存在两个实数 $x_1,x_2\in (0,1)$, 使得 $f(x)f^{”}(x)+$ $[f^{‘}(x){]}^2=0$ 成立.