2016年考研数二第20题解析：旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分

题目

编号：A2016220

设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ $(0⩽x⩽1)$ 与 $\{\begin{array}{c}x={\cos }^{3}t;\\ y={\sin }^{3}t.\end{array}$ $(0⩽t⩽\frac{\pi }{2})$ 围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

解析

由题可得：

$$y=\sqrt{1-x^2}\Rightarrow$$

$$x^2+y^2=1.\mathrm{①}$$

$$\{\begin{array}{c}x={\cos }^{3}t;\\ y={\sin }^{3}t.\end{array}(0⩽t⩽\frac{\pi }{2})\Rightarrow$$

$$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=1,(0⩽x⩽1).\mathrm{②}$$

通过上面的变形计算得到的式子 $\mathrm{①}$ 和 $\mathrm{②}$ 可知，式子 $\mathrm{①}$ 是一个圆心位于坐标系原点，半径长度为 $1$ 的圆形。而且，虽然我们不容易直接画出式子 $\mathrm{②}$ 的图像，但从 $\frac{2}{3}<2$ 也可以得知，在同一个坐标系中，式子 $\mathrm{②}$ 的图象一定位于式子 $\mathrm{①}$ 图象的内部。

题中所给的两条曲线在坐标系中的示意图如图 01 所示，其中绿色的区域即为平面区域 $D$:

本题要求解的是平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积和表面积，其中：

图 01 中平面区域 $D$ 外侧的橙色曲线绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体（半个球体）的三维示意图如图 02 所示：

绘制图 02 所用的 MATLAB 代码：

x = 0:0.01:1;
[a,b,c]=cylinder(sqrt(1-x.*x),30);
mesh(a,b,c)

图 01 中平面区域 $D$ 内侧的蓝色曲线绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的三维示意图如图 03 所示：

绘制图 03 所用的 MATLAB 代码：

x = 0:0.01:1;
[a,b,c]=cylinder((1-x.^(2./3)).^(3./2),30);
mesh(a,b,c)

经过前面的分析可知：

• 求平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的体积 $V$ 就是用图 01 中外侧橙色曲线绕 $x$ 旋转所得的旋转体的体积 $V_1$ 减去内测蓝色曲线绕 $x$ 旋转所得的旋转体的体积 $V_2$: $V=V_1–V_2$.
• 求平面区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体的表面积 $S$ 就是图 01 中用外侧橙色曲线绕 $x$ 旋转所得的旋转体的表面积 $S_1$ 加上内测蓝色曲线绕 $x$ 旋转所得的旋转体的表面积 $S_2$: $S=S_1+S_2$.

一、求解旋转体的体积 $V$

$$V=V_1–V_2\Rightarrow$$

$$V=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi –\pi {\int }_0^1{y}^2(x)\mathrm{d}x\mathrm{③}\Rightarrow$$

注：

[1]. 球体的体积计算公式为：$v=\frac{4}{3}\pi r^3$, 其中 $r$ 为半径。

$$V=\frac{2}{3}\pi –\pi {\int }_{\frac{\pi }{2}}^0({\sin }^{3}t{)}^2\mathrm{d}({\cos }^{3}t)\mathrm{④}\Rightarrow$$

注：

[1]. 当 $0⩽t⩽\frac{\pi }{2}$ 时，$1⩽{\cos }^{3}t⩽0$, 也就是说，若 ${\cos }^{3}t\in (0,1)$, 则 $t\in (\frac{\pi }{2},0)$. 由于积分上下限的取值范围是由积分变量决定的，因此，$\mathrm{③}$ 式到 $\mathrm{④}$ 式的变化过程中，所涉及积分的积分上下限的变换方式为：${\int }_0^1\Rightarrow {\int }_{\frac{\pi }{2}}^0$.

$$V=\frac{2}{3}\pi –\pi {\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{\sin }^{6}t\cdot (-3{\cos }^{2}t\sin t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$V=\frac{2}{3}\pi –3\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{6}t\cdot ({\cos }^{2}t\sin t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$V=\frac{2}{3}\pi –3\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{7}t\cdot ({\cos }^{2}t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$V=\frac{2}{3}\pi –3\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{7}t\cdot (1–{\sin }^{2}t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$V=\frac{2}{3}\pi –3\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\sin }^{7}t–{\sin }^{9}t)\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$\mathrm{华}\mathrm{里}\mathrm{士}\mathrm{点}\mathrm{火}\mathrm{公}\mathrm{式}\Rightarrow$$

$$V=\frac{2}{3}\pi –3\pi (\frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}–\frac{8}{9}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3})\Rightarrow$$

$$V=\frac{2}{3}\pi –3\pi (\frac{16}{35}–\frac{8}{9}\cdot \frac{16}{35})\Rightarrow$$

$$V=\frac{2}{3}\pi –3\cdot \frac{16}{35}\pi (1–\frac{8}{9})\Rightarrow$$

$$V=\frac{2}{3}\pi –3\cdot \frac{16}{35}\cdot \frac{1}{9}\pi \Rightarrow$$

$$V=\frac{2}{3}\pi –\frac{16}{105}\pi =\frac{18}{35}\pi .$$

二、求解旋转体的表面积 $S$

$$S=S_1+S_2\Rightarrow$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot 4\pi +{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}2\pi {\sin }^{3}t\cdot \sqrt{x^{‘2}(t)+y^{‘2}(t)}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

注：

[1]. 球体的表面积计算公式为：$s=4\pi r^2$, 其中 $r$ 为半径；

[2]. 表面积 $S_2$ 是由图 01 中区域 $D$ 外侧的橙色曲线绕 $x$ 轴旋转形成的旋转体的表面积，该橙色曲线的长度的微分为 $\sqrt{x^{‘2}(t)+y^{‘2}(t)}\mathrm{d}t$, 旋转所形成的旋转体某一位置的横截面周长为 $2\pi r=$ $2\pi {\sin }^{3}t\mathrm{d}t$, 其中，$r$ 表示横截面的半径。

$$S=2\pi +2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}t\sqrt{x^{‘2}(t)+y^{‘2}(t)}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$S=2\pi +2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}t\sqrt{(-3{\cos }^{2}t\sin t{)}^2+(3{\sin }^{2}t\cos t{)}^2}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$S=2\pi +2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}t\sqrt{(9{\cos }^{4}t{\sin }^{2}t)+(9{\sin }^{4}t{\cos }^{2}t)}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$S=2\pi +2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}t\sqrt{9{\cos }^{2}t{\sin }^{2}t({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)}\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$S=2\pi +2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{3}t\cdot 3\cos t\sin t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$S=2\pi +6\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{4}t\cdot \cos t\mathrm{d}t\Rightarrow$$

$$S=2\pi +6\pi {\int }_0^1{\sin }^{4}t\mathrm{d}(\sin t)\Rightarrow$$

$$S=2\pi +6\pi {\int }_0^1{A}^{4}t\mathrm{d}(A)\Rightarrow$$

$$S=2\pi +6\pi \cdot \frac{1}{5}A{|}_0^1\Rightarrow$$

$$S=2\pi +\frac{6}{5}\pi =\frac{16}{5}\pi .$$