2015年考研数二第16题解析:定积分、旋转体的体积

题目

A>0, D 是由曲线段 y= Asinx (0xπ2) 及直线 y=0, x=π2 所围成的平面区域,V1, V2 分别表示 Dx 轴与绕 y 轴旋转所成旋转体的体积,若 V1=V2, 求 A 的值.

解析

由题可得:

V1=π0π2y2(x)dx=π0π2(Asinx)2dx;

V2=2π0π2x|y(x)|dx=2π0π2Axsinxdx.

注:

[1]. 在 (0,π2) 区间内,始终有 Asinx>0 存在,因此 式不需要写成如下形式:

V2=2π0π2x|Asinx|dx.

于是:

V1=

A2π0π2sin2xdx=

12A2π0π2(1cos2x)dx=

12A2π[0π21dx0π2cos2xdx]=

12A2π[π212sin2x|0π2]=

12A2π[π212(00)]=

14A2π2.

V2=

2Aπ0π2xsinxdx=

2Aπ0π2xd(cosx)=

2Aπ[xcosx|0π20π2cosxdx]=

2Aπ[00π2cosxdx]=

2Aπ[0sinx|0π2]=

2Aπ[1(10)]=

2Aπ(1)=2Aπ.

又:

V1=V2.

于是:

14A2π2=2Aπ

14Aπ=2

Aπ4=2

A=24π

A=8π.


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