2015年考研数二第16题解析:定积分、旋转体的体积 题目 设 A>0, D 是由曲线段 y= Asinx (0⩽x⩽π2) 及直线 y=0, x=π2 所围成的平面区域,V1, V2 分别表示 D 绕 x 轴与绕 y 轴旋转所成旋转体的体积,若 V1=V2, 求 A 的值. 解析 由题可得: V1=π∫0π2y2(x)dx=π∫0π2(Asinx)2dx; ①V2=2π∫0π2x|y(x)|dx=2π∫0π2Axsinxdx.① 注:[1]. 在 (0,π2) 区间内,始终有 Asinx>0 存在,因此 ①① 式不需要写成如下形式:V2=2π∫0π2x⋅|Asinx|dx. 于是: V1= A2π∫0π2sin2xdx= 12A2π∫0π2(1−cos2x)dx= 12A2π[∫0π21dx–∫0π2cos2xdx]= 12A2π[π2–12sin2x|0π2]= 12A2π[π2–12(0−0)]= 14A2π2. V2= 2Aπ∫0π2xsinxdx= −2Aπ∫0π2xd(cosx)= −2Aπ[xcosx|0π2–∫0π2cosxdx]= −2Aπ[0–∫0π2cosxdx]= −2Aπ[0–sinx|0π2]= −2Aπ⋅[−1⋅(1−0)]= −2Aπ⋅(−1)=2Aπ. 又: V1=V2. 于是: 14A2π2=2Aπ⇒ 14Aπ=2⇒ A⋅π4=2⇒ A=2⋅4π⇒ A=8π. 相关文章: 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分 2014年考研数二第19题解析:变上限积分、函数的单调性、积分中值定理 2013年考研数二第15题解析:等价无穷小 2011年考研数二真题第13题解析:二重积分的计算,三种解法 2011年考研数二第06题解析 2016年考研数二第21题解析:积分、变限积分、二重积分、零点 2016年考研数二第15题解析:无穷小、e 抬起、两个重要无穷小 2015年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、三角函数代换、华里士点火公式 2011年考研数二第19题解析:函数单调性、微分中值定理、定积分、数列 2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 2011年考研数二第21题解析:二重积分、分部积分 2012年考研数二第18题解析:极坐标系下二重积分的计算 2012年考研数二第21题解析:数列、零点定理、极限 2014年考研数二第18题解析:偏导数、二阶常系数非齐次线性微分方程 2013年考研数二第21题解析:平面曲线的弧长、平面图形的形心 2011年考研数二第20题解析:旋转体的体积、一重定积分 2008 年研究生入学考试数学一解答题第 1 题解析(两种方法+手写作答) [高数]有关变限积分求导的几种形式 2018年考研数二第06题解析 2019年考研数二第05题解析 2019年考研数二第17题解析:一阶线性微分方程、旋转体的体积 2014年考研数二第15题解析:极限、等价无穷小、麦克劳林公式