2014年考研数二第22题解析：齐次与非齐次线性方程组求解

题目

设 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -4\\ 0& 1& -1& 1\\ 1& 2& 0& -3\end{array}\right]$, $E$ 为三阶单位矩阵.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求方程组 $AX=0$ 的一个基础解系.

$(\mathrm{Ⅱ})$ 求满足 $AB=E$ 的所有矩阵 $B$.

解析

对于第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问，我们可以利用初等行变换，单独将矩阵 $A$ 化简为行最简型矩阵，之后即可按照常规步骤求出 $AX=0$ 的一个基础解系。但是，为了更方便在第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问中求解，我们这里可以构造组合矩阵 $(A|E)$, 之后，在组合矩阵 $(A|E)$ 中，通过初等行变换，将属于矩阵 $A$ 的部分化简成行最简型矩阵（至于为什么要这样做，我们在后面会有讨论），化简过程如下：

$$\left[\begin{array}{cccccccc}1& -2& 3& -4& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 1& -1& 1& ⋮& 0& 1& 0\\ 1& 2& 0& -3& ⋮& 0& 0& 1\end{array}\right]\mathrm{①}\Rightarrow$$

$$\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 1& ⋮& 2& 6& -1\\ 0& 1& 0& -2& ⋮& -1& -3& 1\\ 0& 0& 1& -3& ⋮& -1& -4& 1\end{array}\right].\mathrm{②}$$

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

观察可知，上面 $\mathrm{②}$ 式中的第三列，即 ” $(1,-2,-3{)}^{\mathrm{\top }}$ ” 这一列为自由项，在求齐次通解时应设为 ” $1$ “, 于是，由矩阵 $A$ 的行最简形式 $\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -2\\ 0& 0& 1& -3\end{array}\right]$ 可以求出齐次线性方程组 $AX=0$ 的一个基础解系为：

$$\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -31\end{array}\right].$$

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

观察可知，题目中所给的矩阵 $A$ 并不是一个方阵，因此，矩阵 $A$ 是不可逆的。也就是说，我们【不可以】按照如下方式求出矩阵 $B$, 因为矩阵 $A^{-1}$ 并不存在：

$$AB=E\Rightarrow$$

$$A^{-1}AB=A^{-1}E\Rightarrow$$

$$B=A^{-1}E.$$

对于求解形如 “$AX=B$” 这样的式子，且矩阵 $A$ 不是方阵或者不可逆的情况，我们可以将矩阵 $X$ 和矩阵 $B$ 分别按列拆分成单列，之后分别代入求通解，最后将通解拼合起来就能得到矩阵 $X$.

由“非齐通=齐通+非齐特”定理可知，要求出“非齐通”，就要先求出“齐通”和“非齐特”。

注：

[1]. 非齐通：即“非齐次线性方程组的通解”；

[2]. 齐通：即“齐次线性方程组的通解”；

[3]. 非齐特：即“非齐次线性方程组的特解”。

第一步：求出非其次线性方程组 $AB=E$ 对应的齐次线性方程组 $AB=0$ 的通解（齐通）

由第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问可知，齐次线性方程组 $AB=0$ 的基础解系为：

$$\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -31\end{array}\right].$$

因此，齐次线性方程组 $AB=0$ 的通解为：

$${\xi }_n=k_n\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -31\end{array}\right].$$

其中 $k_n$ 为任意常数。

第二步：求出非其次线性方程组 $AB=E$ 的特解（非齐特）

接着分析，虽然矩阵 $A$ 不可逆，但我们仍然可以在“变通”之后，继续使用逆矩阵的性质，过程如下：

我们先把上面经过初等行变换得到的 $\mathrm{②}$ 式拿过来写在下面：

$$\left[\begin{array}{cccccccc}1& 0& 0& 1& ⋮& 2& 6& -1\\ 0& 1& 0& -2& ⋮& -1& -3& 1\\ 0& 0& 1& -3& ⋮& -1& -4& 1\end{array}\right].\mathrm{②}$$

如前面所述，$\mathrm{②}$ 式中的第三列是自由列，在求“非齐特”的时候，为了简化计算过程，我们可以将对应于自由列的自由未知数设为 $0$. 也就是说，$\mathrm{②}$ 式中的第三列在我们计算 $AB=E$ 这个非齐次线性方程组的特解的时候，相当于不存在，因此，我们可以将该列单独分隔开：

$$\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& ⋮& 1& ⋮& 2& 6& -1\\ 0& 1& 0& ⋮& -2& ⋮& -1& -3& 1\\ 0& 0& 1& ⋮& -3& ⋮& -1& -4& 1\end{array}\right].\mathrm{③}$$

观察 $\mathrm{③}$ 式可知，第三列前面的三列（即前三列）可以组成一个单位矩阵。如果我们将进行初等行变换化简前的前三列视作矩阵 $a$, 即将原来的矩阵 $A$ 的前三列看作一个矩阵 $a$, 则：

$$a=\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 0& 1& -1\\ 1& 2& 0\end{array}\right].$$

进而，由 $\mathrm{③}$ 式可知，在经过初等行变换后，矩阵 $a$ 的逆矩阵就是：

$$a^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}2& 6& -1\\ -1& -3& 1\\ -1& -4& 1\end{array}\right].$$

于是可知，下式成立：

$$a{a}^{-1}=E.$$

接着，我们只需要给矩阵 $a$ 的最左侧加上一列 $(1,-2,-3{)}^{\mathrm{\top }}$, 即可将其变成化简后的矩阵 $A$. 同时，我们只需要在矩阵 $a^{-1}$ 的最下面加上一行 $(0,0,0)$ 即可在 $a{a}^{-1}$ 的运算过程中使刚才在矩阵 $a$ 的最左侧加上的 $(1,-2,-3{)}^{\mathrm{\top }}$ 这一列失效，进而可知，$AX=E$ 与 $a{a}^{-1}=E$ 是等效的，而且，这里的矩阵 $X$ 就是通过在矩阵 $a^{-1}$ 的最下面加上一行后得到的，即：

$$X=\left[\begin{array}{ccc}2& 6& -1\\ -1& -3& 1\\ -1& -4& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$$

进而可知，矩阵 $X$ 就是 $AX=E$ 的一个特解。

注：

[1]. 对于上文中用到的矩阵 $a$ 而言，将原来的 $\mathrm{①}$ 式转化成化简得到的 $\mathrm{③}$ 式的过程其实就是 $(a|E)\Rightarrow (E|a^{-1})$ 这一过程：

$\left[\begin{array}{ccccccccc}1& -2& 3& ⋮& -4& ⋮& 1& 0& 0\\ 0& 1& -1& ⋮& 1& ⋮& 0& 1& 0\\ 1& 2& 0& ⋮& -3& ⋮& 0& 0& 1\end{array}\right]\Rightarrow$ $\left[\begin{array}{ccccccccc}1& 0& 0& ⋮& 1& ⋮& 2& 6& -1\\ 0& 1& 0& ⋮& -2& ⋮& -1& -3& 1\\ 0& 0& 1& ⋮& -3& ⋮& -1& -4& 1\end{array}\right].$

第三步：拼合“齐通”和“非齐特”得“非齐通”

如果令 $X=(X_1,X_2,X_3)$, $E=(E_1,E_2,E_3)$, 则：

$A{X}_1=E_1$ 的通解为：

$${\xi }_1+X_1\Rightarrow$$

$$k_1\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -31\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ -10\end{array}\right].$$

$A{X}_2=E_2$ 的通解为：

$${\xi }_2+X_2\Rightarrow$$

$$k_2\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -31\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}6\\ -3\\ -40\end{array}\right].$$

$A{X}_3=E_3$ 的通解为：

$${\xi }_3+X_3\Rightarrow$$

$$k_3\left[\begin{array}{c}1\\ -2\\ -31\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 10\end{array}\right].$$

注：

[1]. 这里使用 $k_1$, $k_2$, $k_3$ 是为了体现变量 $k_n$ 是一个任意常数的属性。

于是，$AB=E$ 中的矩阵 $B$ 就是：

$$B=({\xi }_1+X_1,{\xi }_2+X_2,{\xi }_3+X_3)\Rightarrow$$

$$B=\left[\begin{array}{ccc}{k}_1+2& k_2+6& k_3-1\\ -2k_1-1& -2k_2-3& -2k_3+1\\ -3k_1-1& -3k_2-4& -3k_3+1\\ k_1& k_2& k_3\end{array}\right]$$

其中，$k_1$, $k_2$, $k_3$ 为任意常数。

当然，除了按照上述方法求出“非齐特”之外，我们还可以仅仅利用矩阵 $A$ 计算“非齐特”。不过，这里需要注意的是，我们只能用化简成行最简形式的矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 0& -2\\ 0& 0& 1& -3\end{array}\right]$ 确定自由未知数的位置，但不能将化简后的矩阵 $A$ 代入到 $AB=E$ 中求“非齐特”，因为此时矩阵 $A$ 与 矩阵 $E$ 之间的比例关系已经被破坏了，我们必须用原来未经修改的矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& -2& 3& -4\\ 0& 1& -1& 1\\ 1& 2& 0& -3\end{array}\right]$ 代入到 $AB=E$ 中求出的“非齐特”才是正确的“非齐特”。