2013年考研数二第17题解析:二重积分的计算

题目

设平面区域 D 由直线 x=3y, y=3xx+y=8 围成。计算 Dx2dxdy.

解析

本题就是一般情况下二重积分的计算问题。计算二重积分,首先就要画出积分区域 D, 为了方便接下来的绘图,我们可以对题目给出的三个直线的函数做一下变换:

{x=3y;y=3x;x+y=8.

{y=13x;y=3x;y=x+8.

通过对 中的三个函数式两两联立,可以求得它们之间交叉点的坐标,并据此画出区域 D 的示意图,如图 01 所示:

2013年考研数二第17题解析:二重积分的计算_荒原之梦
图 01.

观察图 01 可知,我们可以令 x=2 这条线(红色线)作为分界线,将区域 D 划分成 D1D2 两个区域,分别积分,之后再求和即可。

于是:

D1=02x2dxx33xdy

02x2(3xx3)dx

8302x3dx

8314x4|02

2316=323.

D2=26x2dxx38xdy

26x2(8xx3)dx

826x2dx4326x3dx

813x3|264314x4|26

83(2168)13(129616)=128.

于是:

Dx2dxdy=

D1x2dxdy+D2x2dxdy=

323+128=4163.


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