2011年考研数二第21题解析：二重积分、分部积分

题目

已知函数 $f(x,y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1,y)=0$, $f(x,1)=0$, ${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=a$, 其中，$D=(x,y)|0⩽x⩽1,0⩽y⩽1$, 计算二重积分 $I={\iint }_{D}xy{f}_{xy}^{”}(x,y)dxdy$.

解析

首先，由：

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=a$$

可得：

$${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1}f(x,y)dy=a.$$

接着，我们对 $I={\iint }_{D}xy{f}_{xy}^{”}(x,y)dxdy$ 进行如下转化：

$$I={\iint }_{D}xy{f}_{xy}^{”}(x,y)dxdy=$$

$${\int }_0^{1}xdx{\int }_0^{1}y{f}_{xy}^{”}(x,y)dy=$$

$${\int }_0^{1}xdx{\int }_0^{1}y\cdot d[f_x^{‘}(x,y)].$$

注：分部积分可以用来减少导数的“层数”，例如上面这个过程就是利用分部积分将二阶偏导 $f_{xy}^{”}$ 化为了一阶偏导 $f_x^{‘}$.

又：

$${\int }_0^{1}y\cdot d[f_x^{‘}(x,y)]=\mathrm{①}$$

$$y{f}_x^{‘}(x,y){|}_0^1–{\int }_0^1{f}_x^{‘}(x,y)dy=\mathrm{②}$$

$$1\cdot f_x^{‘}(x,1)–{\int }_0^1{f}_x^{‘}(x,y)dy=\mathrm{③}$$

$$f_x^{‘}(x,1)–{\int }_0^1{f}_x^{‘}(x,y)dy.$$

注：由于 $\mathrm{①}$ 式是在对变量 $y$ 进行积分，因此在将 $\mathrm{②}$ 式中的数字代入，计算出 ③ 式的过程中，我们代入数字的是变量 $y$ 而不是变量 $x$.

于是：

$${\int }_0^{1}xdx{\int }_0^{1}y\cdot d[f_x^{‘}(x,y)]=$$

$${\int }_0^{1}xdx[f_x^{‘}(x,1)–{\int }_0^1{f}_x^{‘}(x,y)dy]=$$

$${\int }_0^{1}x{f}_x^{‘}(x,1)dx–{\int }_0^{1}xdx{\int }_0^1{f}_x^{‘}(x,y)dy.$$

又：

$${\int }_0^{1}x{f}_x^{‘}(x,1)dx=$$

$$xf(x,1){|}_0^1–{\int }_0^{1}f(x,1)dx=$$

$$x\cdot 0{|}_0^1–{\int }_0^{1}f(x,1)dx=$$

$$(-1)\cdot {\int }_0^{1}f(x,1)dx=0.$$

于是：

$${\int }_0^{1}x{f}_x^{‘}(x,1)dx–{\int }_0^{1}xdx{\int }_0^1{f}_x^{‘}(x,y)dy=$$

$$(-1)\cdot {\int }_0^{1}xdx{\int }_0^1{f}_x^{‘}(x,y)dy=$$

$$(-1)\cdot {\int }_0^{1}dy{\int }_0^{1}x{f}_x^{‘}(x,y)dx.$$

又：

$${\int }_0^{1}x{f}_x^{‘}(x,y)dx=$$

$$xf(x,y){|}_0^1–{\int }_0^{1}f(x,y)dx=$$

$$1\cdot f(1,y)–0–{\int }_0^{1}f(x,y)dx=$$

$$(-1)\cdot {\int }_0^{1}f(x,y)dx.$$

于是：

$$(-1)\cdot {\int }_0^{1}dy{\int }_0^{1}x{f}_x^{‘}(x,y)dx=$$

$$(-1)\cdot (-1)\cdot {\int }_0^{1}dy{\int }_0^{1}f(x,y)dx=$$

$${\int }_0^{1}dy{\int }_0^{1}f(x,y)dx=$$

$${\int }_0^{1}dx{\int }_0^{1}f(x,y)dy=a.$$

即：

$$I={\iint }_{D}xy{f}_{xy}^{”}(x,y)dxdy=a.$$