2011年考研数二第16题解析:参数方程的求导、极值点、拐点、凹凸区间

题目

设函数 y=y(x) 由参数方程:

{x=13t3+t+13,y=13t3t+13

确定,求 y=y(x) 的极值和曲线 y=y(x) 的凹、凸区间及拐点。

解析

要解答本题首先要清楚以下概念:

1.极值点是函数的增减性(或“单调性”)发生改变的点,即该函数一阶导的正负发生改变的点。同时,函数二阶导为正的点是极小值点,函数二阶导为负的点是极大值点;

2.拐点是函数的凹凸性发生改变的点,即该函数二阶导的正负发生改变的点。同时,使函数二阶导为正的自变量区间是该函数的凹区间,使函数二阶导为负的自变量区间是该函数的凸区间。

由题得:

dydx=

dydtdtdx=

dydtdxdt=

t21t2+1.

令:

t21t2+1=0.

则:

t21=0

t=1t=1.

又:

d2ydx2=

d(dydx)dx=

d(dydx)dtdtdx=

d(dydx)dtdxdt=

2t(t2+1)2t(t21)(t2+1)2t2+1=

4t(t2+1)3.

t=1 时,x=53, y=13, d2ydx2=12>0.

于是,当 x=53 时,函数 y=y(x) 取得极小值 y=13.

t=1 时,x=1, y=1, d2ydx2=12<0.

于是,当 x=1 时,函数 y=y(x) 取得极大值 y=1.

若令:

d2ydx2=0

则:

t=0.

同时,当 t=0 的时候,x=13, 且当 t<0 的时候,x<13, 当 t>0 的时候,x>13.

于是:

t<0 的时候,d2ydx2<0, 即函数 y=y(x) 的凸区间为 (,13);

t>0 的时候,d2ydx2>0, 即函数 y=y(x) 的凹区间为 (13,+).

又因为:

t=0 的时候 y=13, 因此,函数 y=y(x) 的拐点为 (13,13).


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