2013年考研数二第12题解析

题目

曲线 $\{\begin{array}{c}x=\arctan t,\\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}$ 上对应于 $t=1$ 的点处的法线方程为 $?$

解析

解答本题的关键是知道如下性质：

$$\mathrm{切}\mathrm{线}\mathrm{斜}\mathrm{率}\times \mathrm{法}\mathrm{线}\mathrm{斜}\mathrm{率}=(-1).$$

$$\frac{dy}{dt}=$$

$$\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}\times \frac{1}{2}(1+t^2{)}^{-\frac{1}{2}}\times 2t=$$

$$\frac{t(1+t^2{)}^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{1+t^2}}.$$

$$\frac{dx}{dt}=$$

$$\frac{1}{1+t^2}.$$

于是：

$$\frac{dy}{dx}=$$

$$t(1+t^2{)}^{-\frac{1}{2}}\times (1+t^2{)}^{\frac{1}{2}}=t.$$

因此，当 $t=1$ 时，法线的斜率为：

$$k=\frac{-1}{1}=-1.$$

又，当 $t=1$ 时，有：

$$x=\frac{\pi }{4};$$

$$y=\ln \sqrt{2}.$$

于是，法线方程为：

$$y–\ln \sqrt{2}=(-1)\times (x–\frac{\pi }{4})\Rightarrow$$

$$x+y–\ln \sqrt{2}–\frac{\pi }{4}=0.$$

注意：在试卷上做标注时要特别注意，不要遮盖住了题目本身。有些题目部分区域字很小（例如写次方数的位置），细微的遮盖就有可能造成读题出错。

综上可知，正确答案为 $x+y–\ln \sqrt{2}–\frac{\pi }{4}=0$.

EOF