2013年考研数二第11题解析

题目

设封闭曲线 $L$ 的极坐标方程 $r=\cos 3\theta$, $(-\frac{\pi }{6}⩽\theta ⩽\frac{\pi }{6})$, 则 $L$ 所围平面图形的面积是 $?$

解析

极坐标下平面图形面积的计算公式为：

$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }[r_2^2(\theta )–r_1^2(\theta )]d\theta .$$

于是：

$$S=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}[\cos 3\theta {]}^{2}d\theta =$$

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}{\int }_{-\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}}[\cos 3\theta {]}^{2}d(3\theta )=$$

为了使计算方便，这里令 $t=3\theta$. 这里需要特别注意的一点是，积分变量由 $3\theta$ 变成 $t$ 之后，积分区间也要由 $[-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6}]$ 变成 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, 这一点极易忘记从而导致错误，因此，要特别注意。

$$\frac{1}{6}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}tdt.$$

又：

$$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta –1\Rightarrow$$

$${\cos }^2\theta =\frac{\cos 2\theta +1}{2}=\frac{1}{2}[\cos 2\theta +1].$$

于是：

$$\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(\cos 2t+1)dt=$$

$$\frac{1}{12}[{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\cos 2tdt+{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1dt]=$$

$$\frac{1}{12}[\frac{1}{2}(\sin 2t){|}_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}+\pi ]=$$

$$\frac{1}{12}[\frac{1}{2}(0-0)+\pi ]=$$

$$\frac{\pi }{12}.$$

综上可知，正确答案为 $\frac{\pi }{12}$.

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