前言
本文将通过几个例子来解释如何通过把单位矩阵 $E$ 看作一张“白纸”或“原点”的方式来形象化地理解一些做题思路——这种理解并不是严格的数学推导，但是能帮助我们化解一些题目“为什么要这么做”的疑问。
例一
设 $A=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0\\
1 & 0 & 2\\
3 & 2 & 2
\end{vmatrix}$ 经过有限次的初等变换转化成为 $B=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 2\\
1 & 2 & -2\\
2 & 3 & -2
\end{vmatrix}$, 求一个可逆矩阵 $P$, 使 $PA=B$.
由于 $A$ 是左乘 $P$, 根据“左行右列”的原则，$PA=B$ 的含义就是：
对 $A$ 做一系列的行变换，使得 $A$ 变成 $B$.
但是，对于如何求出 $P$, 线性代数的课本中几乎没有明确的公式或者性质可用。
但是，我们知道，当我们做一些【行变换操作】将 $A$ 变成 $B$ 的过程中，这些【行变换操作】我们是可以做出来的，而这些【行变换操作】其实就对应着矩阵 $P$. 进而可以想到，如果我们能够将这些【行变换操作】组合起来，形成对应的矩阵，那么，这个矩阵就是矩阵 $P$.
为了达成上面的目标，我们就需要一个【平台】，这个平台必须足够【基础】，能反映并记录施加在其上每一步变化（相当于一张“白纸”）。这个【平台】最佳的选择就是——单位矩阵 $E$.
如果我们把对 $A$ 在变成 $B$ 的过程中进行的每一步【行】初等变换都同步施加到初始状态为单位矩阵的矩阵上，那么，在 $A$ 变成 $B$ 的时候，我们就得到了一个满足 $PA=B$ 条件的可逆矩阵 $P$, 形式如下：
$$
(A, E) \rightarrow 初等行变换 \rightarrow (B, P) \Rightarrow
$$
$$
PA = B.
$$
同样的，如果要找的是满足 $AP=B$ 的可逆矩阵 $P$, 则要对 $A$ 做初等列变换，形式如下：
$$
\binom{A}{E} \rightarrow 初等列变换 \rightarrow \binom{B}{P} \Rightarrow
$$
注意：若要使用列变换，则 $E$ 相对于 $A$ 的位置应该是【竖着】放置的，因为列变换影响的是列，只有竖着放才能让 $E$ 记录到所做的列变换，【横着】放置的 $E$ 只能记录到所作的行变换。
$$
AP = B.
$$
对于本题，有：
$$
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 2 & | & 0 & 1 & 0\\
3 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 2 & | & 0 & 1 & 0\\
1 & 2 & -2 & | & 2 & -1 & 0\\
2 & 3 & -2 & | & 1 & -2 & 1
\end{vmatrix}.
$$
于是：
$$
P=\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0\\
2 & -1 & 0\\
1 & -2 & 1
\end{vmatrix}.
$$
由于初等行变换的方式不止上述一种，因此，也可以有：
$$
P=\begin{vmatrix}
0 & 1 & 0\\
0 & -2 & 1\\
1 & -2 & 1
\end{vmatrix}.
$$
例二
求矩阵 $A=\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & -5 & 3\\
3 & 7 & 4
\end{vmatrix}$ 的逆矩阵。
求逆矩阵的方法有多种，对于这种以实数方式完全给定的矩阵求其逆矩阵，一般使用如下公式：
$$
(A,E) \rightarrow 初等行变换 \rightarrow (E,A^{-1}).
$$
或者：
$$
\binom{A}{E} \rightarrow 初等列变换 \rightarrow \binom{E}{A^{-1}}.
$$
那么，如何理解上面这两个公式呢？
如果我们把 $E$ 看作“数轴”的“原点”，那么，$A$ 和 $A^{-1}$ 就是对称于“原点” $E$ 分布在“数轴”上的。在这个“数轴”上，移动一个矩阵的方式就是对其做初等变换（横轴做初等行变换，纵轴做初等列变换），【不同】的初等行（列）变换会导致矩阵（无论是不是同一个矩阵）在“数轴”上移动【不同】的“距离”，而【相同】的初等行（列）变换会导致矩阵（无论是不是同一个矩阵）在“数轴”上移动【相同】的距离。
于是，如果，我们同时对 $A$ 和 $E$ 施加同样的初等变换，那么，就相当于把 $A$ 和 $E$ 做了平移，当 $A$ 变成（移动到）$E$ 的时候，$E$ 就变成（移动到）了 $A^{-1}$, 如图 1 ~ 2 所示：
于是，有：
$$
(A,E) =
$$
$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 1 & 0 & 0\\
2 & -5 & 3 & | & 0 & 1 & 0\\
3 & 7 & 4 & | & 0 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\Rightarrow
$$
$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & | & -\frac{41}{48} & \frac{13}{48} & \frac{7}{16}\\
0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{48} & -\frac{5}{48} & \frac{1}{16}\\
0 & 0 & 1 & | & \frac{29}{48} & -\frac{1}{48} & -\frac{3}{16}
\end{vmatrix}.
$$
于是：
$$
A^{-1}=\begin{vmatrix}
-\frac{41}{48} & \frac{13}{48} & \frac{7}{16}\\
\frac{1}{48} & -\frac{5}{48} & \frac{1}{16}\\
\frac{29}{48} & -\frac{1}{48} & -\frac{3}{16}
\end{vmatrix}.
$$
根据上面的理解方式，我们也可以理解为什么当一个行列式的值为 $0$ 的时候，这个行列式就是不可逆的了：因为 $|E| \neq 0$, 所以，当一个行列式等于零的时候，它永远都无法通过行变换或者列变换变成 $E$.
EOF