2014年考研数二第04题解析

题目

曲线 $\{\begin{array}{c}x=t^2+7,\\ y=t^2+4t+1\end{array}$ 上对应于 $t=1$ 处的曲率半径为 $?$

$$A.\frac{\sqrt{10}}{50}$$

$$B.\frac{\sqrt{10}}{100}$$

$$C.10\sqrt{10}$$

$$D.5\sqrt{10}$$

解析

已知：

$$\mathrm{曲}\mathrm{率}k=\frac{|y^{”}|}{(1+y^{‘2}{)}^{\frac{3}{2}}}.$$

$$\mathrm{曲}\mathrm{率}\mathrm{半}\mathrm{径}R=\frac{1}{k}.$$

又：

$$\frac{dy}{dt}=$$

$$2t+4.$$

$$\frac{dx}{dt}=$$

$$2t.$$

$$y^{‘}=\frac{2t+4}{2t}.$$

$$\frac{d{y}^{‘}}{dt}=$$

$$\frac{2(2t)–(2t+4)\cdot 2}{(2t{)}^2}.$$

$$y^{”}=$$

$$\frac{2(2t)–(2t+4)\cdot 2}{(2t{)}^3}.$$

当 $t=1$ 时：

$$y^{‘}=3.$$

$$y^{”}=-1.$$

于是：

$$k=\frac{1}{(1+9{)}^{\frac{3}{2}}}=$$

$$\frac{1}{\sqrt{1000}}$$

$$R=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}.$$

综上可知，正确选项为 $C$.

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