题目
曲线 $\left\{\begin{matrix}
x = t^{2} + 7,\\
y = t^{2} + 4t + 1
\end{matrix}\right.$ 上对应于 $t=1$ 处的曲率半径为 $?$
$$
A. \frac{\sqrt{10}}{50}
$$
$$
B. \frac{\sqrt{10}}{100}
$$
$$
C. 10 \sqrt{10}
$$
$$
D. 5 \sqrt{10}
$$
解析
已知：
$$
曲率 k = \frac{|y^{”}|}{(1+y^{‘2})^{\frac{3}{2}}}.
$$
$$
曲率半径 R = \frac{1}{k}.
$$
又：
$$
\frac{dy}{dt} =
$$
$$
2t+4.
$$
$$
\frac{dx}{dt} =
$$
$$
2t.
$$
$$
y^{‘} = \frac{2t+4}{2t}.
$$
$$
\frac{dy^{‘}}{dt} =
$$
$$
\frac{2(2t) – (2t+4) \cdot 2}{(2t)^{2}}.
$$
$$
y^{”} =
$$
$$
\frac{2(2t) – (2t+4) \cdot 2}{(2t)^{3}}.
$$
当 $t=1$ 时：
$$
y^{‘} = 3.
$$
$$
y^{”} = -1.
$$
于是：
$$
k = \frac{1}{(1+9)^{\frac{3}{2}}} =
$$
$$
\frac{1}{\sqrt{1000}}
$$
$$
R = \sqrt{1000} = 10\sqrt{10}.
$$
综上可知，正确选项为 $C$.
EOF