2015年考研数二第03题解析

题目

设函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}{x}^{\alpha }\cos \frac{1}{x^{\beta }},x>0\\ 0,x⩽0,\end{array}$ $(\alpha >0,\beta >0)$, 若 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，则 $?$

$$A.\alpha –\beta >1$$

$$B.0<\alpha –\beta ⩽1$$

$$C.\alpha –\beta >2$$

$$D.0<\alpha –\beta ⩽2$$

解析

方法一：

观察选项可知，所有选项都是在描述 $\alpha –\beta$ 的大小，因此，我们可以取几个特殊值计算一下，寻找正确答案。

由于“可导必连续，连续不一定可导”。因此，若 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处也一定可导。于是，我们可以对原函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续做判断。

取 $\alpha =2,\beta =1$, 即 $\alpha –\beta =1$, 则有：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^2\cos \frac{1}{x}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-2}}\Rightarrow$$

$\cos \frac{1}{x}$ 是一个有界函数，$x^{-2}$ 趋向于无穷大，一个有界函数除以一个无穷大则等于零，于是有：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-2}}=0.$$

因此，此条件下 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。但是，这个结论只告诉我们 $f(x)$ 在此条件下连续，并没有告诉我们 $f(x)$ 在不满足此条件下不连续，因此，通过该结论不能排除或者也不能确认 $A$, $C$ 两项。另外，也不能排除或者也不能确认 $B$, $D$.

取 $\alpha =3,\beta =1$, 即 $\alpha –\beta =2$, 则有：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^3\cos \frac{1}{x}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-3}}=0.$$

取 $\alpha =4,\beta =1$, 即 $\alpha –\beta =3$, 则有：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^4\cos \frac{1}{x}=$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\cos \frac{1}{x}}{x^{-4}}=0.$$

按照这个思路继续向下写，当 $\alpha –\beta =99999\dots$ 的时候，$f(x)$ 在 $x=0$ 处都是连续的。符合该条件的选项只有一个，那就是 $A$ 项。

方法二：

由于 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，因此，$f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 左右两侧的导函数值一定存在且相等。

又：

$$f^{‘}(0)=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)}{x}=$$

$$\underset{x\to 0}{lim}{x}^{\alpha –1}\cos \frac{1}{x^{\beta }}.$$

由于 $\cos \frac{1}{x^{\beta }}$ 是一个有界函数，当 $\alpha –1⩾0$ 时，$\underset{x\to 0}{lim}{x}^{\alpha –1}=0$, 此时有：

$$0\cdot \mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{函}\mathrm{数}=0.$$

而当 $\alpha –1<0$, $\underset{x\to 0}{lim}{x}^{\alpha –1}=\mathrm{\infty }$, 此时有：

$$\mathrm{\infty }\cdot \mathrm{有}\mathrm{界}\mathrm{函}\mathrm{数}=\mathrm{\infty }$$

因此，满足题目条件的只有：

$$\alpha –1⩾0\Rightarrow$$

$$\alpha ⩾1.$$

又因为：

$$f^{‘}(x)=$$

$$\alpha x^{\alpha –1}\cos \frac{1}{x^{\beta }}+x^{\alpha }(-\sin \frac{1}{x^{\beta }})(-\beta x^{-\beta –1})=$$

$$\alpha x^{\alpha –1}\cos \frac{1}{x^{\beta }}+x^{\alpha }(\sin \frac{1}{x^{\beta }})(\beta x^{-\beta –1})=$$

$$\alpha x^{\alpha –1}\cos \frac{1}{x^{\beta }}+(\sin \frac{1}{x^{\beta }})(\beta x^{\alpha –\beta –1})\mathrm{①}$$

同前面的分析，要想让 $f^{‘}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，必须有：

$$\alpha –1⩾0;$$

且

$$\alpha –\beta –1⩾0.$$

于是有：

$$\alpha ⩾1;$$

且：

$$\alpha –\beta ⩾1.$$

又由于：

$$\alpha >0,\beta >0.$$

因此，当 $\alpha –\beta ⩾1$ 时，一定有：

$$\alpha ⩾1.$$

于是，满足题目要求的结果为：

$$\alpha –\beta ⩾1.$$

又因为 $\alpha –\beta >1$ 为 $\alpha –\beta ⩾1$ 的子集，因此，$\alpha –\beta >1$ 也能使题目条件成立。

综上可知，正确选项为 $A$.

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