2015年考研数二第01题解析

题目

下列反常积分中收敛的是 $?$

$$
A. \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx
$$

$$
B. \int_{2}^{+ \infty} \frac{\ln x}{x} dx
$$

$$
C. \int_{2}^{+ \infty} \frac{1}{x \ln x} dx
$$

$$
D. \int_{2}^{+ \infty} \frac{x}{e^{x}} dx
$$

解析

方法一:

本题主要考察常见反常积分的敛散性,可以用已知公式判断。

注意:从目前看来,数二中的很多题目都是直接建立在公式上的,准确地记住并知道用该公式就很容易找到解题思路(但是否能解对还取决于计算过程是否正确)。

本题所有选项中的积分下限都是 $2$, 积分上限都是 $+ \infty$, 且 $2>1>0$, 因此,可以使用【常见反常积分敛散性的判别公式】。

$A$ 项:

$$
\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}.
$$

由于 $\frac{1}{2} \leqslant 1$, 因此 $A$ 项中的式子发散。

$B$ 项:

$$
\frac{\ln x}{x} = \frac{1}{x \ln^{-1} x}.
$$

由于 $-1 \leqslant 1$, 因此,$B$ 项中的式子发散。

$C$ 项:

由于 $\frac{1}{x \ln x}$ 中,$1 \leqslant 1$, 因此 $C$ 项中的式子发散。

由上可知,$D$ 项收敛。

方法二:

还可以通过计算判断哪些是发散的。

$A$ 项:

$$
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx =
$$

$$
\int_{2}^{+\infty} x^{- \frac{1}{2}} dx =
$$

$$
2 x^{\frac{1}{2}} |_{2}^{+ \infty} =
$$

$$
+\infty.
$$

因此,$A$ 项的式子发散。

$B$ 项:

$$
\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} dx =
$$

$$
\int_{2}^{+\infty} \ln x d(\ln x) =
$$

$$
\frac{1}{2} (\ln x)^{2} |_{2}^{+\infty} =
$$

$$
+\infty.
$$

因此,$B$ 项的式子发散。

$$
\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} =
$$

$$
\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{\ln x} d(\ln x) =
$$

$$
\ln (\ln x) |_{2}^{+\infty} =
$$

$$
+\infty.
$$

因此,$C$ 项的式子发散。

于是,$D$ 项的式子收敛。

综上可知,正确选项为 $D$.

EOF


荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress