2015年考研数二第01题解析

题目

下列反常积分中收敛的是 ?

A.2+1xdx

B.2+lnxxdx

C.2+1xlnxdx

D.2+xexdx

解析

方法一:

本题主要考察常见反常积分的敛散性,可以用已知公式判断。

注意:从目前看来,数二中的很多题目都是直接建立在公式上的,准确地记住并知道用该公式就很容易找到解题思路(但是否能解对还取决于计算过程是否正确)。

本题所有选项中的积分下限都是 2, 积分上限都是 +, 且 2>1>0, 因此,可以使用【常见反常积分敛散性的判别公式】。

A 项:

1x=1x12.

由于 121, 因此 A 项中的式子发散。

B 项:

lnxx=1xln1x.

由于 11, 因此,B 项中的式子发散。

C 项:

由于 1xlnx 中,11, 因此 C 项中的式子发散。

由上可知,D 项收敛。

方法二:

还可以通过计算判断哪些是发散的。

A 项:

2+1xdx=

2+x12dx=

2x12|2+=

+.

因此,A 项的式子发散。

B 项:

2+lnxxdx=

2+lnxd(lnx)=

12(lnx)2|2+=

+.

因此,B 项的式子发散。

2+1xlnx=

2+1lnxd(lnx)=

ln(lnx)|2+=

+.

因此,C 项的式子发散。

于是,D 项的式子收敛。

综上可知,正确选项为 D.

EOF


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