题目
编号：A2016207
设 $A$, $B$ 为可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是 $?$
$$
A. A^{\top} 与 B^{\top} 相似
$$
$$
B. A^{-1} 与 B^{-1} 相似
$$
$$
C. A + A^{\top} 与 B + B^{\top} 相似
$$
$$
D. A + A^{-1} 与 B + B^{-1} 相似
$$
解析
$A$ 项：
$$
P^{-1}AP \sim B \Rightarrow
$$
$$
(P^{-1}AP)^{\top} \sim B^{\top} \Rightarrow
$$
$$
p^{\top}A^{\top}(P^{-1})^{\top} \sim B^{\top} \Rightarrow
$$
$$
P^{\top}A^{\top}(P^{\top})^{-1} \sim B^{\top}.
$$
又由于可逆矩阵的转置矩阵也可逆，因此：
$$
A^{\top} \sim B^{\top}.
$$
于是，$A$ 项正确。
$B$ 项：
$$
P^{-1}AP \sim B \Rightarrow
$$
$$
(P^{-1}AP)^{-1} \sim B^{-1} \Rightarrow
$$
$$
P^{-1} A^{-1} (P^{-1})^{-1} \sim B^{-1} \Rightarrow
$$
$$
P^{-1} A^{-1} P \sim B^{-1}.
$$
又由于可逆矩阵的逆矩阵也可以，因此：
$$
A^{-1} \sim B^{-1}.
$$
于是，$B$ 项正确。
$C$ 项：
由前面的分析可知：
$$
P^{-1}AP \sim B. ①
$$
$$
P^{\top}A^{\top}(P^{\top})^{-1} \sim B^{\top}. ②
$$
但是，除非在一些特殊情况下，否则不会存在：
$$
P^{-1} = P^{\top};
$$
$$
P = (P^{\top})^{-1}.
$$
因此，通过 $①$, $②$ 两式不能得到 $A + A^{\top} 与 B + B^{\top}$ 相似的结论，$C$ 项错误。
$D$ 项：
$$
P^{-1}AP \sim B \Rightarrow
$$
$$
(P^{-1} A P)^{-1} \sim B^{-1} \Rightarrow
$$
$$
P^{-1} A^{-1} (P^{-1})^{-1} \sim B^{-1} \Rightarrow
$$
$$
P^{-1} A^{-1} P \sim B^{-1}
$$
于是，我们现在有：
$$
P^{-1}AP \sim B. ③
$$
$$
P^{-1} A^{-1} P \sim B^{-1} ④
$$
由 $③$, $④$ 两式可知：
$$
P^{-1} (A + A^{-1}) P \sim B + B^{-1}.
$$
于是，$D$ 项正确。
综上可知，正确选项为 $C$.
EOF