2016年考研数二第07题解析

题目

编号：A2016207

设 $A$ , $B$ 为可逆矩阵，且 $A$ 与 $B$ 相似，则下列结论错误的是 $?$

$A . A^{⊤} 与 B^{⊤} 相似$

$B . A^{- 1} 与 B^{- 1} 相似$

$C . A + A^{⊤} 与 B + B^{⊤} 相似$

$D . A + A^{- 1} 与 B + B^{- 1} 相似$

$A$ 项：

$P^{- 1} A P \sim B \Rightarrow$

$(P^{- 1} A P)^{⊤} \sim B^{⊤} \Rightarrow$

$p^{⊤} A^{⊤} (P^{- 1})^{⊤} \sim B^{⊤} \Rightarrow$

$P^{⊤} A^{⊤} (P^{⊤})^{- 1} \sim B^{⊤} .$

又由于可逆矩阵的转置矩阵也可逆，因此：

$A^{⊤} \sim B^{⊤} .$

于是， $A$ 项正确。

$B$ 项：

$P^{- 1} A P \sim B \Rightarrow$

$(P^{- 1} A P)^{- 1} \sim B^{- 1} \Rightarrow$

$P^{- 1} A^{- 1} (P^{- 1})^{- 1} \sim B^{- 1} \Rightarrow$

$P^{- 1} A^{- 1} P \sim B^{- 1} .$

又由于可逆矩阵的逆矩阵也可以，因此：

$A^{- 1} \sim B^{- 1} .$

于是， $B$ 项正确。

$C$ 项：

由前面的分析可知：

$P^{- 1} A P \sim B . ①$

$P^{⊤} A^{⊤} (P^{⊤})^{- 1} \sim B^{⊤} . ②$

但是，除非在一些特殊情况下，否则不会存在：

$P^{- 1} = P^{⊤};$

$P = (P^{⊤})^{- 1} .$

因此，通过 $①$ , $②$ 两式不能得到 $A + A^{⊤} 与 B + B^{⊤}$ 相似的结论， $C$ 项错误。

$D$ 项：

$P^{- 1} A P \sim B \Rightarrow$

$(P^{- 1} A P)^{- 1} \sim B^{- 1} \Rightarrow$

$P^{- 1} A^{- 1} (P^{- 1})^{- 1} \sim B^{- 1} \Rightarrow$

$P^{- 1} A^{- 1} P \sim B^{- 1}$

于是，我们现在有：

$P^{- 1} A P \sim B . ③$

$P^{- 1} A^{- 1} P \sim B^{- 1} ④$

由 $③$ , $④$ 两式可知：

$P^{- 1} (A + A^{- 1}) P \sim B + B^{- 1} .$

于是， $D$ 项正确。

综上可知，正确选项为 $C$ .

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