2017年考研数二第02题解析

题目

设二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=f(-1)=1$, $f(0)=-1$, 且 $f^{”}(x)>0$, 则 $?$

$$A.{\int }_{-1}^{1}f(x)dx>0$$

$$B.{\int }_{-1}^{1}f(x)dx<0$$

$$C.{\int }_{-1}^{0}f(x)dx>{\int }_0^{1}f(x)dx$$

$$D.{\int }_{-1}^{0}f(x)dx<{\int }_0^{1}f(x)dx$$

解析

方法一：

由 $f^{”}(x)>0$ 可推知：

$$f(x)=x^2.$$

又由 $f(0)=-1$ 可推知：

$$f(x)=x^2–1.$$

又由 $f(1)=f(-1)=1$ 可推知：

$$f(x)=2x^2–1.$$

于是，由于 $f(x)$ 关于 $y$ 轴对称，所以 $C,D$ 选项错误。

又：

$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx=$$

$${\int }_{-1}^1(2x^2–1)dx=$$

$${\int }_{-1}^1(2x^2)dx–{\int }_{-1}^{1}1dx=$$

$$
2 \cdot \frac{1}{3} x^{3} |{-1}^{1} – x |{-1}^{1} =
$$

$$[\frac{2}{3}+\frac{2}{3}]–[1+1]=$$

$$\frac{4}{3}–\frac{6}{3}=–\frac{2}{3}<0.$$

于是，$B$ 选项正确。

方法二：

如图 1 所示，用红色折线将 $A,B,C$ 三个点连接起来，此时会形成 $s_1,s_2,s_3,s_4$ 四个小三角形，且：

$$s_1=s_2=s_3=s_4.$$

则可知，红色折线在区间 $[-1,1]$ 上与坐标轴围成的的面积的代数和为 $0$.

又由 $f^{”}(x)>0$ 可知，$f(x)$ 的曲线是凹的，$f(x)$ 的大致图像如图 1 中灰色线条所示，因此，$f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上与坐标轴围成的面积的代数和一定小于 $0$, 即选项 $B$ 正确。

综上可知，正确选项为 $B$.

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