2018年考研数二第11题解析

题目

$${\int }_5^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2-4x+3}=?$$

解析

因为：

$$(x-2{)}^2=x^2+4–4x.$$

所以：

$$x^2–4x+3=$$

$$(x-2{)}^2-1=$$

$$[(x-2)+1][(x-2)-1]=$$

$$(x-3)(x-1)$$

于是：

$${\int }_5^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2-4x+3}=$$

$${\int }_5^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(x-3)(x-1)}$$

又：

$$\frac{1}{x-3}–\frac{1}{x-1}=$$

$$\frac{2}{(x-3)(x-1)}$$

所以：

$${\int }_5^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{(x-3)(x-1)}=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_5^{+\mathrm{\infty }}[\frac{1}{x-3}–\frac{1}{x-1}]=$$

$$\frac{1}{2}[\ln |x-3|–\ln |x-1|]{|}_5^{+\mathrm{\infty }}=$$

$$\frac{1}{2}(\ln \frac{x-3}{x-1}){|}_5^{+\mathrm{\infty }}=$$

$$\frac{1}{2}(\ln \frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}–\ln \frac{2}{4})=$$

$$\frac{1}{2}(\ln 1–\ln \frac{1}{2})=$$

$$\frac{1}{2}(0–\ln \frac{1}{2})=$$

$$\frac{1}{2}\cdot (-1)\cdot \ln \frac{1}{2}=$$

$$\frac{1}{2}\ln (\frac{1}{2}{)}^{-1}=$$

$$\frac{1}{2}\ln 2.$$

综上可知，正确答案为 $\frac{1}{2}\ln 2$.

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