2018年考研数二第05题解析

题目

解析

方法一

本题是比较积分的大小，也就是各个函数在区间 $\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 内围成的面积的大小，因此，可以带入一些特殊的数值，大致判断一下函数的图像，从而判断出它们围成面积的大小。

为了判断准确且计算方便，我们选取 $x=-\frac{3}{2}$, $x=\frac{3}{2}$ 和 $x=0$ 这三个点代入计算 ($3 \approx \pi$)。

首先，通过观察可知，$M$ 和 $K$ 对应的函数的图像都位于 $x$ 轴上方，而 $N$ 对应的函数图像存在位于 $x$ 轴下方的部分——当 $x<0$ 时，$N$ 对应的图像位于 $x$ 轴下方，当 $x>0$ 时，由于分母 $\mathrm{e}^{x}$ 的增加速度要大于分子 $1+x$ 的增加速度，因此 $\frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}}$ 的在 $x$ 在第一象限的图像上升不是很快，由此判断出 $N$ 的积分可能是三者中最小的。

对于 $K$, 有如下数据：

$$
x=0 \Rightarrow y=2;
$$

$$
x=-\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=1;
$$

$$
x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow y=1.
$$

对于 $M$, 有以下数据：

$$
x=0 \Rightarrow y=1;
$$

$$
x= – \frac{3}{2} \Rightarrow y= \frac{1}{2};
$$

$$
x=\frac{3}{2} \Rightarrow y=\frac{25}{13} \approx 2.
$$

由上可以判断，$M<K$, 于是有：

$K>M>N$, 即 $C$ 选项正确。

如果对上述结果的准确性存疑，可以再多选取几个样本点并计算出相应的函数值，从而提高判断正确的可能性。

方法二

方法一只能粗略地判断，判断结果并不一定对。因此，可以通过一些计算进一步确认。

由于：

$$
M = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x^{2}+2x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x =
$$

$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \left(1+ \frac{2x}{1+x^{2}} \right) \mathrm{~d} x =
$$

由于 $\frac{2(-x)}{1+x^{{2}}} = -\frac{2x}{1+x^{2}}$ 是奇函数且区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 关于原点对称，因此有：

$$
M = \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \mathrm{~d} x = \pi.
$$

又因为，在 $\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ 区间内，有：

$$
1<1+\sqrt{\cos x} \Rightarrow
$$

$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{~d} x >\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \mathrm{~d} x =\pi
$$

$$
\frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}}<1 \Rightarrow
$$

$$
\int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x < \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \mathrm{~d} x =\pi
$$

所以：

$$
K>M>N.
$$

综上可知，正确选项是 $C$.

EOF

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