2018年考研数二第05题解析

题目

设 $M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}dx$, $N={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x}{e^x}dx$, $K={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sqrt{\cos x})dx$, 则 $?$.

$$A.M>N>K$$

$$B.M>K>N$$

$$C.K>M>N$$

$$D.K>N>M$$

解析

方法一

本题是比较积分的大小，也就是各个函数在区间 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 内围成的面积的大小，因此，可以带入一些特殊的数值，大致判断一下函数的图像，从而判断出它们围成面积的大小。

为了判断准确且计算方便，我们选取 $x=-\frac{3}{2}$, $x=\frac{3}{2}$ 和 $x=0$ 这三个点代入计算 ($3\approx \pi$)。

首先，通过观察可知，$M$ 和 $K$ 对应的函数的图像都位于 $x$ 轴上方，而 $N$ 对应的函数图像存在位于 $x$ 轴下方的部分——当 $x<0$ 时，$N$ 对应的图像位于 $x$ 轴下方，当 $x>0$ 时，由于分母 $e^x$ 的增加速度要大于分子 $1+x$ 的增加速度，因此 $\frac{1+x}{e^x}$ 的在 $x$ 在第一象限的图像上升不是很快，由此判断出 $N$ 的积分可能是三者中最小的。

对于 $K$, 有如下数据：

$$x=0\Rightarrow y=2;$$

$$x=-\frac{\pi }{2}\Rightarrow y=1;$$

$$x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow y=1.$$

对于 $M$, 有以下数据：

$$x=0\Rightarrow y=1;$$

$$x=–\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{2};$$

$$x=\frac{3}{2}\Rightarrow y=\frac{25}{13}\approx 2.$$

由上可以判断，$M<K$, 于是有：

$K>M>N$, 即 $C$ 选项正确。

如果对上述结果的准确性存疑，可以再多选取几个样本点并计算出相应的函数值，从而提高判断正确的可能性。

方法二

方法一只能粗略地判断，判断结果并不一定对。因此，可以通过一些计算进一步确认。

由于：

$$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}dx=$$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x^2+2x}{1+x^2}dx=$$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\frac{2x}{1+x^2})dx=$$

由于 $\frac{2(-x)}{1+x^2}=-\frac{2x}{1+x^2}$ 是奇函数且区间 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 关于原点对称，因此有：

$$M={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1dx=\pi .$$

又因为，在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 区间内，有：

$$1<1+\sqrt{\cos x}\Rightarrow$$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}(1+\sqrt{\cos x})dx>{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1dx=\pi$$

$$\frac{1+x}{e^x}<1\Rightarrow$$

$${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+x}{e^x}<{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}1dx=\pi$$

所以：

$$K>M>N.$$

综上可知，正确选项是 $C$.

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