2025年考研数二第03题解析：二阶齐次微分方程的同阶、二阶微分方程解的结构、韦达定理

一、题目

»A«. $(-2, -1]$.

»B«. $(-\infty, -1]$.

»C«. $(-2, 0)$.

»D«. $(-\infty, 0)$.

二、解析

解法 1：特殊特征根排除法

当 $a=-2$ 时，微分方程 $y ^{\prime \prime} – 2ay ^{\prime} + (a + 2)y$ $=$ $0$ 实际上就是：

$$
y ^{\prime \prime} + 4y ^{\prime} = 0
$$

进而可知，对应的特征方程和特征根为：

$$
\begin{aligned}
& \ \lambda^{2} + 4 \lambda = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\lambda_{1} = 0 \\
\lambda_{2} = -4
\end{cases}
\end{aligned}
$$

于是，根据二阶常系数线性齐次微分方程通解的求解方法可知，当 $a=-2$ 时，对应的微分方程的通解为：

$$
\begin{aligned}
y(x) & = C_{1} \mathrm{e}^{\lambda_{1} x} + C_{2} \mathrm{e}^{\lambda_{2} x} \\ \\
& = C_{1} + C_{2}\mathrm{e}^{-4x}
\end{aligned}
$$

于是，当 $C_{1}\neq 0$ 时：

$$
\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{~d} x = \int_{0}^{+\infty}(C_{1} + C_{2} \mathrm{e}^{-4x}) \mathrm{~d} x
$$

对于上面的式子，虽然 $\int_{0}^{+\infty}(C_{2} \mathrm{e}^{-4x}) \mathrm{~d} x$ 收敛，但是，$\int_{0}^{+\infty} C_{1} \mathrm{~d} x$ 不收敛，所以，反常积分 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{~d} x$ 不收敛.

根据上面的分析，可以将选项 »B« 和选项 »D« 排除.

类似地，令 $a = -\frac{1}{2}$, 则微分方程 $y ^{\prime \prime} – 2ay ^{\prime} + (a + 2)y$ $=$ $0$ 实际上就是：

$$
y ^{\prime \prime} + y ^{\prime} + \frac{3}{2} y = 0
$$

进而可知，对应的特征方程和特征根为：

$$
\begin{aligned}
& \ \lambda^{2} + \lambda + \frac{3}{2} = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\lambda_{1} & = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}i \\ \\
\lambda_{2} & = -\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{5}}{2}i
\end{cases}
\end{aligned}
$$

于是，根据二阶常系数齐次微分方程特征根为虚根的设解方法可知，当 $a = -\frac{1}{2}$ 时，对应的微分方程的通解为：

$$
y(x) = \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}\left[A \cos \left(\frac{\sqrt{5}}{2} x \right) + B \left( \sin \frac{\sqrt{5}}{2} x \right) \right]
$$

由于 $\lim_{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{- \frac{1}{2} x}$ $=$ $0$, 所以，反常积分 $\int_{0}^{+\infty}y(x) \mathrm{~d} x$ 收敛，因此可以排除 »A« 选项.

综上可知，本 题 应 选 C

解法 2：特征根法

首先，微分方程 $y ^{\prime \prime} – 2ay ^{\prime} + (a+2)y$ $=$ $0$ 的特征方程为：

$$
\lambda^{2}-2a \lambda + (a + 2) = 0
$$

这里设上面的特征方程的两个特征根为（假设均为实根）：

$$
\lambda_{1}, \quad \lambda_{2}
$$

又由微分方程 $y ^{\prime \prime} – 2ay ^{\prime} + (a+2)y$ $=$ $0$ 可得：

$$
\begin{aligned}
& \ y ^{\prime \prime} – 2ay ^{\prime} + (a+2)y = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ (a+2) y = 2a y ^{\prime} – y ^{\prime \prime} \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ y = \frac{2a y ^{\prime} }{a+2} – \frac{y ^{\prime \prime}}{a+2}
\end{aligned}
$$

接着，有：

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{~d} x & = \int_{0}^{+\infty} \left(-\frac{y ^{\prime \prime} }{a+2} + \frac{2a}{a+2}y ^{\prime} \right) \mathrm{~d}x \\ \\
& = \left.\left(-\frac{1}{a+2}y ^{\prime} + \frac{2a}{a+2}y\right)\right|_{0}^{+\infty} \\ \\
& = \lim_{x \to +\infty} \left( -\frac{1}{a+2}y ^{\prime} + \frac{2a}{a+2}y \right) – \textcolor{pink}{ \left[ -\frac{1}{a+2}y ^{\prime} (0) + \frac{2a}{a+2}y(0) \right] } \\ \\
& = \lim_{x \to +\infty} \left( -\frac{1}{a+2}y ^{\prime} + \frac{2a}{a+2}y \right) – \textcolor{pink}{ \text{常数} } \\ \\
\end{aligned}
$$

于是可知，若要使反常积分 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{~d} x$ 收敛，实际上就是使极限 $\lim_{x \to +\infty} \left( -\frac{1}{a+2}y ^{\prime} + \frac{2a}{a+2}y \right)$ 存在.

根据微分方程解的结构可知，无论特征根是两个不同的实根、两个相同的实根，还是共轭复根，二阶常系数齐次线性微分方程的通解 $y(x)$ 及其导数 $y^{\prime}(x)$ 都可以表示为指数函数 $\mathrm{e}^{\lambda x}$ 与其他一些元素的线性组合（或者当特征根为虚数时，由实部的 $\alpha$ 组成的 $\mathrm{e}^{\alpha x}$ 乘以三角函数）.

于是可知，若要求极限 $\lim_{x \to +\infty} \left( -\frac{1}{a+2}y ^{\prime} + \frac{2a}{a+2}y \right)$ 存在，由于函数 $y$ 和 $y ^{\prime}$ 的表达式中全都是 $\mathrm{e}^{\lambda x}$ 形式的项，因此，当 $x \to +\infty$ 时，$\mathrm{e}^{\lambda x}$ 必须为零，即所有的特征根（或者说特征根的实部）都要小于零，即：

$$
\begin{aligned}
\lambda_{1} < 0 \\ \\
\lambda_{2} < 0
\end{aligned}
$$

因此，由一元二次方程的韦达定理可知：

$$
\begin{aligned}
& \lambda_{1} + \lambda_{2} = 2a < 0 \\ \\ & \lambda_{1}\lambda_{2} = a+2 > 0
\end{aligned}
$$

综上可得：

$$
-2 < a < 0
$$

综上可知，本 题 应 选 C

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