峰式图：基于对函数微观结构的定义研究函数的光滑属性

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将基于《判断一个点是不是尖点的“峰”式图形化方法：落圆法》和《为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”》这两篇文章中原创的新视角和思路，进一步做方法上的完善，通过对函数微观结构的创造性定义，在微观视角上实现对函数光滑属性的描述和解释. 由于对函数光滑属性的研究，实际上就是对函数的导函数进行研究，所以，本文所提供的方法可用于以更加直观的方式解释函数的可导性，以及对导函数性质的描述.

二、正文

§2.1 基于双胞胎点的函数光滑属性的微观定义

根据传统数学中微分的思想，我们可以用直线去拟合曲线，只要我们划分出来的曲线足够多（无穷多），并且每段直线足够短（趋于零），那么，这些直线连接起来，就可以看作是对应的曲线.

由于我们事实上无法对真正的曲线本身做直接的研究，所以，在本文中，我们更进一步，即我们不认为真正的曲线真实存在. 也就是说，在本文接下来的推理范畴中，我们认为，只存在直线和折线，所有函数本质上都是由直线和折线构成的.

此时，所谓的光滑（无论是传统数学定义中直线的光滑还是曲线的光滑）就是直线上的光滑，所谓的不光滑就是折线弯折处的不光滑.

根据《为什么“尖点”一定是不可导点？因为尖点不是“双胞胎点”》这篇文章可知，曲线上存在切线的点一定是由“双胞胎点”构成的，而存在切线的点一定是光滑的点，所以，我们可以将光滑的点定义为如图 01 所示的形式：

其中，绿色的点表示光滑的点本身，在光滑点的左右两侧必然存在与其在同一条直线上的两个橙色的双胞胎点. 事实上，图 01 的画法只是为了呈现几何意义上的视角，橙色的双胞胎点和绿色的光滑点本身都是同一个点，绿色光滑点左右两侧的橙色双胞胎点实际上就对应于传统数学中的左极限和右极限.

而如图 02 所示的蓝色的点就不是一个光滑的点，而是一个尖点，因为其与左右两侧的橙色的双胞胎点不共线（或者说，只能在蓝色的尖点的其中一侧找到与其共线的橙色圆点，但这不符合我们上面对光滑点的定义），因此图 02 所示的蓝色圆点不是一个光滑点：

但是，很显然，如果要在本文所提出的方法中，形成传统数学中所描述的光滑的曲线，就必须使用折线. 例如，当我们要用直线来描述一段光滑的曲线时，必然会产生如图 03 所示的“折线”：

所以，我们还必须对什么样的折线上的折角是尖点，什么样的折线上的折角是光滑点做出定义——

事实上，我们可以认为，只有尖点所在的折角是真正的折线，光滑点所在的“折角”是可以被继续以更微观的视角拆分的（如图 04 所示），拆分的结果以及拆分停止的条件就是拆分后对应的绿色原点及其左右两侧的橙色圆点所在的绿色直线的与未拆分时的点的切线斜率相同：

当然，仍然如图 04 所示，对点 $a_{1}$ 进行放大拆分，得到该点处的绿色切线及切线上的点 $a_{11}$ 的过程中，会产生新的表现为折角的光滑点 $a_{2}$, 此时，我们可以对 $a_{2}$ 做同样的放大拆分，就可以得到点 $a_{2}$ 的绿色切线及切线上的点 $a_{22}$, 以此继续，就可以得到整段光滑曲线的所有切线，同时也保证了“曲线”的处处光滑.

此外，如图 05 所示，一个点（绿色圆点）所在的切线的斜率，与该点左右两侧双胞胎点（橙色圆点）的分布有关，不同的双胞胎点分布，可以使得绿色圆点处的斜率发生变化：

引起如图 05 这样一点处斜率不同的根本原因是对点的定义导致的——

例如，当我们单纯的定义一个坐标为 $(a, b)$ 的点时，这个点就是一个“孤单点”，没有包含任何斜率和切线的属性. 但是，当我们定义一个点为 $(a, f(a))$ 的时候，那么，由于函数 $f(x)$ 的不同，点 $(a, f(a))$ 处就会存在具有特定斜率的切线.

在上面的内容中，我们只是对单独的某个点及其左右两侧的双胞胎点进行了定义和说明. 但是，由于一条线上会存在无数个点，那么，这无数个点，及其各自的双胞胎点之间，是否存在一定的联系呢？

为此，我们首先做这样一个思想实验（定义一个特殊的函数）：

假设直线函数 $K(x) = ax$ 上的每一点都是由切线方向（斜率）各不相同的直线函数 $f(x) = k_{i}x$, $i = 1,2,3, \cdots$ 定义的点组成（如图 06 所示），那么，函数 $k(x)$ 的导函数是多少？

很显然，根据数学求导公式，我们知道：

$$
K ^{\prime} (x) = \left( ax \right) ^{\prime} = a
$$

但是，根据上面的定义，如果我们单独取出 $K(x)$ 的某一点放到一个新的坐标系中，其求导所得的导数都是不相同的：

$$
\left( k_{1} x \right) ^{\prime} = k_{1}, \ \left( k_{2} x \right) ^{\prime} = k_{2}, \ \left( k_{3} x \right) ^{\prime} = k_{3}, \ \cdots
$$

也就是说，无论函数 $K(x)$ 上面的每一个点是怎么被定义的，我们都可以由函数 $K(x)$ 的表达式 $K(x) = ax$ 知道，其斜率处处为 $a$, 而不是 $k_{i}$, $i = 1,2,3, \cdots$）——当然，不排除某些点处 $k_{i} = a$ 的情况出现.

但是，结合前面对双胞胎点、光滑属性的定义可知，图 06 中橙色的双胞胎点本身实际上都是不光滑的点，因为我们无法在任意一个橙色圆点的左右两侧同时找到与该点共线的两个双胞胎点. 换句话说，图 06 中每个橙色圆点都是不光滑的点，也就是不可导的点，于是就不具备切线属性.

因此，我们用灰色圆点替换原来的橙色圆点，如图 07 所示：

既然每一个灰色圆点都不具备参与定义切线斜率的属性，那么，草绿色圆点通过灰色圆点维持产生的一点处的斜率（图 07 中绿色直线的斜率）也就没有了存在的意义，因为这些斜率是不可继续延展和传播的，不可能构成连续的点，也就不可能存在导数. 所以，我们可以删除这些表示斜率的绿色直线，如图 08 所示：

事实上，对于光滑直线上的点而言，一个点是否是双胞胎点，以及一个点的双胞胎点是谁，都是可以发生变化的——

例如，如图 09 所示的是其中一种光滑点与其双胞胎点的分布情况：

如图 10 所示的是另一种光滑点与其双胞胎点的分布情况：

接下来，我们基于前面所提供的方法和视角，对函数及其导函数进行一些分析.

§2.2 一元函数的导函数分析

如图 11 所示，点 $k$ 的坐标是 $(b, g(b))$, 点 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 是点 $k$ 的双胞胎点：

根据上面的图示可知，此时，点 $k$ 左侧的双胞胎点是点 $g_{2}$, 点 $k$ 右侧的双胞胎点是点 $g_{1}$, 由于点 $k$, $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 都位于同一条直线 $g(x)$ 上，所以，点 $k$ 处切线的斜率（导数）就是：

$$
g ^{\prime} (b)
$$

例如，当有函数 $g(x) = x^{2}$, 其定义域为 $x = 1$ 时，其在点 $x = 1$ 处的导函数为：

$$
g ^{\prime} (1) = 2
$$

推导过程如下：

$$
\begin{aligned}
g ^{\prime} (1^{-}) & = \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{g(1+h) – g(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{(1+h)^{2} – 1^{2}}{h} \\ \\
& = \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{1 + h^{2} + 2h – 1^{2}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{2h + h^{2}}{h} \\ \\
& = \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{2h}{h} = 2 \\ \\ \\
g ^{\prime} (1^{+}) & = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{g(1+h) – g(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{(1+h)^{2} – 1^{2}}{h} \\ \\
& = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{1 + h^{2} + 2h – 1^{2}}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2h + h^{2}}{h} \\ \\
& = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{2h}{h} = 2
\end{aligned}
$$

由于 $g ^{\prime} (1^{-})$ $=$ $g ^{\prime} (1^{+})$ $=$ $2$, 所以：

$$
g ^{\prime} (1) = 2
$$

但是，如图 12 所示，我们定义一个函数 $z(x) = \begin{cases}
f(x), & x \in [a, b); \\
g(x), & x = b
\end{cases}$, 其中 $g(b)$ $=$ $\lim_{x \rightarrow b} f(x)$:

接着，根据前面对一点处导数的分析可知，此时，$k$ 点原本的双胞胎点 $g_{1}$ 和 $g_{2}$ 其实已经“失效了”，甚至，点 $k$ 还可能成为其他点，如点 $m$ 的双胞胎点（如图 13 所示）. 因此，点 $k$ 处的斜率就不再由定义该点的函数 $g(x)$ 决定，而是由函数 $f(x)$ 决定：

例如，当有函数 $f(x) = \begin{cases} x^{2}, & x = 1 \\ x, & x \neq 1 \end{cases}$, 其在点 $x = 1$ 处的导函数为：

$$
f ^{\prime} (1) = 1 \neq 2
$$

推导过程如下：

$$
\begin{aligned}
f ^{\prime} (1^{-}) & = \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(1+h) – f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{1 + h – 1}{h} \\ \\
& = \lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{h}{h} = 1 \\ \\ \\
f ^{\prime} (1^{+}) & = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(1+h) – f(1)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{1 + h – 1}{h} \\ \\
& = \lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{h}{h} = 1 \\ \\ \\
\end{aligned}
$$

由于 $f ^{\prime} (1^{-})$ $=$ $f ^{\prime} (1^{-})$ $=$ $1$, 所以：

$$
f ^{\prime} (1) = 1 \neq 2
$$

§2.3 二元（多元）函数的导函数分析

对于一个二元函数 $z(x, y)$ 而言，其函数图象实际上就是一个三维曲面. 此时，对变量 $x$ 求偏导，实际上就是将该三维曲面投射到 $XOZ$ 平面上，类似地，对变量 $y$ 求偏导，就是将该三维曲面投射到 $YOZ$ 平面上.

于是，如图 14 所示，假如绿色实线（这里为了绘图上的简洁清晰，对函数图像的描述，使用的都是标准的直线）是 $\frac{\partial z(x, y)}{\partial x}$ 的函数图象，其上的点 $P$ 是通过另外一个由函数 $f$ 定义出来的点 $P ^{\prime}$ 定义的：

那么，如图 14 所示，我们实际上可以将绿色实线投射到 $XOZ$ 平面上（更普适的定义是：将绿色实线投射到与 $XOZ$ 平面平行，且与函数 $f$ 共面的平面上），就会发现，投射所得的绿色虚线与函数 $f$ 实际上在一个平面上，这其实就是前文中一元函数的导函数中所对应的场景.

通过图 14 我们可以看出来，点 $P$ 处的偏导数 $\frac{\partial z(x, y)}{\partial x}$ 是存在的，但是函数 $z(x,y)$ 在点 $P$ 处并不是连续的——类似地，对于偏导数 $\frac{\partial z(x, y)}{\partial y}$ 也有同样的结论.

三、总结

通过基于双胞胎点的函数微观结构的定义，以及上面对一元函数和二元函数导函数的分析，我们事实上以图形的方式证明了《彻底搞明白一元和二元函数中可微、可（偏）导、连续与极限存在之间的关系》这篇文章中所给出的“若一元函数一点处可导（导数存在），则函数在该点处一定连续；若二元（多元）函数一点处可偏导（偏导数存在），则函数在该点处不一定连续”的结论.

同时，根据本文所提供的方法，也回答了为什么当通过对定义一个点的函数表达式求导得到的（偏）导数值，和通过一点处（偏）导数的定义得到的（偏）导数值不一致的时候，应该以定义得到的（偏）导数值为准的问题.

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