等价矩阵一定包含相似矩阵，反之则不一定

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将借助矩阵初等变换的“逆对称”性质，探讨一下等价矩阵与相似矩阵之间的关系.

二、正文

首先，根据矩阵等价的定义可知，若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 与可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足下式，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为等价矩阵：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{B} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} \tag{1}
}
$$

也就是说，如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以通过有限次任意类型的初等变换（初等行变换和初等列变换）变成矩阵 $\boldsymbol{B}$, 则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为等价矩阵.

接着，根据矩阵相似的定义可知，若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足下式，则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 互为相似矩阵：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\boldsymbol{B} = \boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P} \tag{2}
}
$$

综上，根据《矩阵乘法的“左行右列”性质》和《通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质》这两篇文章可知，上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式说明，等价矩阵是通过任意可逆类型的初等变换得到的，而相似矩阵则必须通过“逆对称”类型的初等变换得到，而任意可逆类型的初等变换一定包含“逆对称”类型的初等变换，所以：

等价矩阵一定包含相似矩阵，但是，相似矩阵则不一定是等价矩阵.

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