有 $N$ 个零点的函数，一定至少有 $N-1$ 个驻点吗？

一、前言

根据罗尔定理可知，如果函数 $f(x)$ 满足在闭区间 $[a,b]$ 上连续；在开区间 $(a,b)$ 内可微分；在区间端点处的函数值相等，即 $f(a)=f(b)$, 则至少有一个点 $\xi \in (a,b)$, 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$, 也就是说，$\xi$ 就是函数 $f(x)$ 的一个驻点。

那么，如果，$f(a)=f(b)=0$, 也就是函数 $f(x)$ 与坐标轴的 $X$ 轴存在两个交点 $a$ 和 $b$ 的时候，是否就意味着在区间 $(a,b)$ 上一定会存在至少一个函数 $f(x)$ 的驻点呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们深入图解这一问题。

二、正文

虽然在一些常见的函数上，零点和驻点总是相伴存在，但是，严格地说，零点和驻点之间并不存在绝对的联系。

零点之间存在驻点

如果在零点之间，函数的连续性和可微性都满足罗尔定理，那么，零点之间就会存在至少一个驻点，如下面的图 02 和图 03 所示：

有零点但无驻点

如果在零点之间，函数满足连续性，但不满足可微性，则零点之间一般不存在驻点，如图 05 所示：

而如果在零点之间，函数的连续性和可微性都不满足，则零点之间一般也不存在驻点，如图 07 所示：

有驻点但无零点

当然，零点和驻点之间比不是必然相互依存的关系，在没有零点的情况下，函数也可能存在驻点，如图 09 所示：

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