关于 $0/0$ 和 $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$ 型极限的正负性

一、前言

在「荒原之梦考研数学」的《高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图》这篇文章中，我们知道 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 是两种核心未定式。

既然是“未定式”，那么就存在“定”和“不定”两种状态：“定”就是存在极限，“不定”就是不存在极限。

在本文中，我们就主要讨论一下，当 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 存在极限的情况下，其分子和分母的正负性与式子极限的正负性之间关系的问题。

二、正文

我们知道，当一个分式的分子和分母都是确定数值的时候，分子和分母的正负性，会影响最终计算结果的正负性，例如：

$$\begin{array}{rl}& \frac{+2}{+1}=+2\\ \\ & \frac{-2}{+1}=-2\\ \\ & \frac{+2}{-1}=-2\end{array}$$

类似地，当一个分式的分子和分母都是极限值的时候，且该分式的极限存在的时候，分子和分母的正负性，也会影响最终计算结果（即极限）的正负性。

于是，对于 $\frac{0}{0}$ 型的定式（即极限存在）和常数 $K>0$, 我们有：

$$\begin{array}{rl}& \frac{0^{+}}{0^{+}}=+K\\ \\ & \frac{0^{-}}{0^{+}}=-K\\ \\ & \frac{0^{-}}{0^{+}}=-K\end{array}$$

类似地，对于 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型的定式（即极限存在）和常数 $K>0$, 我们有：

$$\begin{array}{rl}& \frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}=+K\\ \\ & \frac{-\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}=-K\\ \\ & \frac{+\mathrm{\infty }}{-\mathrm{\infty }}=-K\end{array}$$

在实际应用的时候，我们只需要知道“ (1) 分 母 极 限 的 正 负 ”、“ (2) 分 子 极 限 的 正 负 ”以及整个式子“ (3) 极 限 值 的 正 负 ”，这三个条件中的两个，就可以推导出剩余的第三个值的正负：

$$\frac{\text{(1) 分母极限的正负}}{\text{(2) 分子极限的正负}}=\text{(3) 极限值的正负}$$

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