峰式特例法：所有 n 维向量都可以尝试假定为一维向量

一、题目

已知 $A$ $=$ $E - 2 α α^{⊤}$ , $α$ 为 $n$ 维列向量，且 $α^{⊤} α$ $=$ $1$ , 则：

$A^{2 n} = ?$

二、解析

峰式特例法

在本题中我们知道， $α$ 为 $n$ 维列向量，并且题目没有限制 $n$ 的取值范围，所以，我们可以假定 $n = 1$ .

其实，一维的向量和一维的矩阵其实就是一个单独的数字。因此，对一维向量和矩阵的运算只需要遵循数字的四则运算法则即可，不需要考虑向量和矩阵独有的运算法则，可以极大的简化思考和运算过程。

首先，一个数字转置之后还是这个数字本身，所以，对于一维向量 $α$ , 有：

$α^{⊤} = α$

而如果一个数进行平方运算之后还等于自己，那么这个数只能是 $1$ , 即：

$\begin{aligned} α^{⊤} α = (α)^{2} = 1 \\ \Rightarrow & α = 1 \end{aligned}$

此外，一维的单位矩阵 $E$ 可以认为就是数字 $1$ , 于是：

$\begin{aligned} A = E - 2 α α^{⊤} \\ \Rightarrow & A = 1 - 2 \times 1 \\ \Rightarrow & A = - 1 \end{aligned}$

于是，当 $n = 1$ 的时候，有：

$\begin{aligned} A^{2 n} \\ = & A^{2} \\ = & (- 1)^{2} \\ = & 1 \end{aligned}$

由于一维的单位矩阵是 $1$ , 而 $n$ 维的单位矩阵就是 $E$ , 所以：

$A^{2 n} = E$

当然，这里假设 $n = 1$ 得出的结果存在一定的不是真实结果的可能性，因为，真实的结果可能跟维度 $n$ 有关，而假设 $n = 1$ 之后，这个特性就会被掩盖。

不过，假设 $n = 1$ 所得的计算结果仍然可以作为选择题的判断依据，或者用于检验填空题中用其他方法所得的计算结果是否正确，或者在答题时间比较紧张的考场上，对于思路不明确或者计算较复杂的题目，将此方法作为快速解题的一种有效工具。

传统方法

首先，由 $α^{⊤} α$ $=$ $1$ 可知：

$\begin{aligned} α^{⊤} α = 1 \\ \Rightarrow & {(α^{⊤} α)}^{⊤} = 1^{⊤} \\ \Rightarrow & α α^{⊤} = 1 \end{aligned}$

先求解 $A^{2}$ :

$\begin{aligned} A^{2} & = (E - 2 α α^{⊤}) (E - 2 α α^{⊤}) \\ = E - 2 \cdot α α^{⊤} - 2 \cdot α α^{⊤} + 4 \cdot α \cdot α^{⊤} α \cdot α^{⊤} \\ = E - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 4 \cdot α \cdot 1 \cdot α^{⊤} \\ = E - 2 - 2 + 4 \cdot α α^{⊤} \\ = E - 2 - 2 + 4 \cdot 1 \\ = E - 2 - 2 + 4 \\ = E \end{aligned}$

所以：

$A^{2 n} = {(A^{2})}^{n} = {(E)}^{n} = E$

峰式特例法：所有 $n$ 维向量都可以尝试假定为一维向量

一、题目

二、解析

峰式特例法

传统方法

高等数学

线性代数

特别专题

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