一、前言 
经 验 分 布 函 数 是考研数学大纲中的一个“冷门”知识点,考察频次较低。但是,对于考研的学子们来说,再“冷门”的知识点,我们都要认真学习。
在本文中,「荒原之梦考研数学」将结合离散型随机变量的分布函数和直观形象的示意图,让同学们快速理解什么是“ 经 验 分 布 函 数 ”。
二、解析 
一般情况下,我们对于随机变量
所谓“ 经 验 分 布 函 数 ”就是将从总体中抽取到的
无论随机变量
下面,我们就通过对比的方式,借助离散型随机变量的分布函数,来理解 经 验 分 布 函 数 。
离散型随机变量的分布函数
假设离散型随机变量
将上面的分布律绘制到
接下来,根据上面的信息,分段进行分析。
- 当
的时候,很显然没有包含任何变量,于是,此时的概率 , 如图 02 所示:
- 当
的时候,包含了一个随机变量 , 于是,此时的概率 , 如图 03 所示:
- 当
的时候,包含了两个随机变量 和 , 于是,此时的概率 , 如图 04 所示:
- 当
的时候,包含了全部三个随机变量 , 和 , 于是,此时的概率 , 如图 05 所示:
于是,我们可以得到这组离散型随机变量的概率分布函数:
如果我们将上面的概率分布函数绘制到
经验分布函数
假如我们从总体中取出来了
则通过对上面样本观测值的统计可知:
- 观测值
出现了 次; - 观测值
出现了 次; - 观测值
出现了 次; - 观测值
出现了 次;
于是:
频次 |
如果我们将样本出现的的“频次”看作其“概率”,并用
如果我们把上面的柱状图用线条连接起来,就会看到类似连续型随机变量的分布密度函数图像(如果我们有很多这样的观测值,那么,所得到的图像会越来越接近总体的分布密度函数图像):
接下来,根据上面的信息,分段进行分析。
- 当
的时候,很显然没有包含任何随机变量的观测值,于是,此时的概率 , 如图 09 所示:
- 当
的时候,包含了一个随机变量 , 于是,此时的概率 , 如图 10 所示:
- 当
的时候,包含了两个随机变量 和 , 于是,此时的概率 , 如图 11 所示:
- 当
的时候,包含了三个随机变量 , 和 , 于是,此时的概率 , 如图 12 所示:
- 当
的时候,包含了四个随机变量 , , 和 , 于是,此时的概率 , 如图 13 所示:
于是可知,对应的 经 验 分 布 函 数 为:
将上面的 经 验 分 布 函 数 绘制到
Note
[1]. “
zhaokaifeng.com” 中的下标 “ ” 指的是该 经 验 分 布 函 数 包含 个样本;
[2]. 在概率论和梳理统计中,我们常常通过在一个符号的上面加上的方式表示这是一个“估计量”、“似然量”或者“猜测量”,而本文中的 经 验 分 布 函 数 也是一种“猜测函数”或者“估计函数”。
应用例题
题目
某食品厂生产瓶装饮料,现从生产线上随机抽取
解析
首先,将抽取的
接着,对样本观测值的出现频次进行统计,不同数值的样本出现的次数和频次如下表所示:
样本 | |||
次数 | |||
频次 |
综上,该样本的 经 验 分 布 函 数
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