经验分布函数的图形化理解

一、前言

经 验 分 布 函 数 是考研数学大纲中的一个“冷门”知识点，考察频次较低。但是，对于考研的学子们来说，再“冷门”的知识点，我们都要认真学习。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将结合离散型随机变量的分布函数和直观形象的示意图，让同学们快速理解什么是“ 经 验 分 布 函 数 ”。

二、解析

一般情况下，我们对于随机变量 $X$ 整体的分布函数 $F$ 是难以准确知道的，所以，在实际应用中就引入了 经 验 分 布 函 数（Empirical Distribution Function）。

所谓“ 经 验 分 布 函 数 ”就是将从总体中抽取到的 $n$ 个样本的观测值出现的频率，近似看作随机变量 $X$ 发生的概率——样本的观测值就是“ 经 验 分 布 函 数 ”中的“ 经 验 ”。

无论随机变量 $X$ 是连续型随机变量还是离散型随机变量，都可以有 经 验 分 布 函 数 。事实上，经 验 分 布 函 数 与离散型随机变量的分布函数在形式上几乎是完全一致的，因为，即便 $X$ 是连续型随机变量，我们在其中抽取的样本也是离散的。

下面，我们就通过对比的方式，借助离散型随机变量的分布函数，来理解 经 验 分 布 函 数 。

离散型随机变量的分布函数

假设离散型随机变量 $X$ 的分布律如下：

$X$	$\textcolor{#00FF02}{1}$	$\textcolor{#00FF02}{2}$	$\textcolor{#00FF02}{3}$
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$

将上面的分布律绘制到 $X – P$ 坐标系中，就可以得到如图 01 所示的分布密度柱状图：

接下来，根据上面的信息，分段进行分析。

1. 当 $x < \textcolor{#00FF02}{1}$ 的时候，很显然没有包含任何变量，于是，此时的概率 $P \{ x < \textcolor{#00FF02}{1} \}$ $=$ $0$, 如图 02 所示：

2. 当 $\textcolor{#00FF02}{1} \leqslant x < \textcolor{#00FF02}{2}$ 的时候，包含了一个随机变量 $\textcolor{#00FF02}{1}$, 于是，此时的概率 $P \{ \textcolor{#00FF02}{1} \leqslant x < \textcolor{#00FF02}{2} \}$ $=$ $\frac{1}{2}$, 如图 03 所示：

3. 当 $\textcolor{#00FF02}{2} \leqslant x < \textcolor{#00FF02}{3}$ 的时候，包含了两个随机变量 $\textcolor{#00FF02}{1}$ 和 $\textcolor{#00FF02}{2}$, 于是，此时的概率 $P \{ \textcolor{#00FF02}{2} \leqslant x < \textcolor{#00FF02}{3} \}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{1}{6}$ $=$ $\frac{2}{3}$, 如图 04 所示：

4. 当 $x \geqslant \textcolor{#00FF02}{3}$ 的时候，包含了全部三个随机变量 $\textcolor{#00FF02}{1}$, $\textcolor{#00FF02}{2}$ 和 $\textcolor{#00FF02}{3}$, 于是，此时的概率 $P \{ x \geqslant \textcolor{#00FF02}{3} \}$ $=$ $1$, 如图 05 所示：

于是，我们可以得到这组离散型随机变量的概率分布函数：

$$
\textcolor{springgreen}{
F(x) = \begin{cases}
0, & x < 1 \\ \\
\frac{1}{2}, & 1 \leqslant x < 2 \\ \\
\frac{2}{3}, & 2 \leqslant x < 3 \\ \\
1, & x \geqslant 3
\end{cases}
}
$$

如果我们将上面的概率分布函数绘制到 $x – F$ 坐标系中，就可以得到如图 06 所示的分布函数柱状图：

经验分布函数

假如我们从总体中取出来了 $8$ 个样本，这些样本的观测值分别为：

$$
X = \{ \textcolor{#00FF02}{300}, \textcolor{#00FF02}{100}, \textcolor{#00FF02}{200}, \textcolor{#00FF02}{300}, \textcolor{#00FF02}{300}, \textcolor{#00FF02}{100}, \textcolor{#00FF02}{000}, \textcolor{#00FF02}{300} \}
$$

则通过对上面样本观测值的统计可知：

• 观测值 $\textcolor{#00FF02}{000}$ 出现了 $1$ 次；
• 观测值 $\textcolor{#00FF02}{100}$ 出现了 $2$ 次；
• 观测值 $\textcolor{#00FF02}{200}$ 出现了 $1$ 次；
• 观测值 $\textcolor{#00FF02}{300}$ 出现了 $4$ 次；

于是：

$X$	$\textcolor{#00FF02}{000}$	$\textcolor{#00FF02}{100}$	$\textcolor{#00FF02}{200}$	$\textcolor{#00FF02}{300}$
频次	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{2}$

如果我们将样本出现的的“频次”看作其“概率”，并用 $\hat{P}$ 表示，则可以在 $X – \hat{P}$ 坐标系中，得到如图 07 所示的分布密度柱状图：

如果我们把上面的柱状图用线条连接起来，就会看到类似连续型随机变量的分布密度函数图像（如果我们有很多这样的观测值，那么，所得到的图像会越来越接近总体的分布密度函数图像）：

接下来，根据上面的信息，分段进行分析。

1. 当 $x < \textcolor{#00FF02}{000}$ 的时候，很显然没有包含任何随机变量的观测值，于是，此时的概率 $P \{ x < \textcolor{#00FF02}{000} \}$ $=$ $0$, 如图 09 所示：

2. 当 $\textcolor{#00FF02}{000} \leqslant x < \textcolor{#00FF02}{100}$ 的时候，包含了一个随机变量 $\textcolor{#00FF02}{000}$, 于是，此时的概率 $P \{ \textcolor{#00FF02}{000} \leqslant x < \textcolor{#00FF02}{100} \}$ $=$ $\frac{1}{8}$, 如图 10 所示：

3. 当 $\textcolor{#00FF02}{100} \leqslant x < \textcolor{#00FF02}{200}$ 的时候，包含了两个随机变量 $\textcolor{#00FF02}{000}$ 和 $\textcolor{#00FF02}{100}$, 于是，此时的概率 $P \{ \textcolor{#00FF02}{100} \leqslant x < \textcolor{#00FF02}{200} \}$ $=$ $\frac{1}{8}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $=$ $\frac{3}{8}$, 如图 11 所示：

4. 当 $\textcolor{#00FF02}{200} \leqslant x < \textcolor{#00FF02}{300}$ 的时候，包含了三个随机变量 $\textcolor{#00FF02}{000}$, $\textcolor{#00FF02}{100}$ 和 $\textcolor{#00FF02}{200}$, 于是，此时的概率 $P \{ \textcolor{#00FF02}{200} \leqslant x < \textcolor{#00FF02}{300} \}$ $=$ $\frac{1}{8}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{1}{8}$ $=$ $\frac{1}{2}$, 如图 12 所示：

5. 当 $x \geqslant \textcolor{#00FF02}{300}$ 的时候，包含了四个随机变量 $\textcolor{#00FF02}{000}$, $\textcolor{#00FF02}{100}$, $\textcolor{#00FF02}{200}$ 和 $\textcolor{#00FF02}{300}$, 于是，此时的概率 $P \{ x \geqslant \textcolor{#00FF02}{300} \}$ $=$ $\frac{1}{8}$ $+$ $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{1}{8}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $=$ $1$, 如图 13 所示：

于是可知，对应的 经 验 分 布 函 数 为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\hat{F}_{8}(x) = \begin{cases}
0, & x < 000 \\ \\
\frac{1}{8}, & 000 \leqslant x < 100 \\ \\
\frac{3}{8}, & 100 \leqslant x < 200 \\ \\
\frac{1}{2}, & 200 \leqslant x < 300 \\ \\
1, & x \geqslant 300
\end{cases}
}
$$

将上面的 经 验 分 布 函 数 绘制到 $x – \hat{F}_{8}(x)$ 坐标系中，则如图 14 所示：

Note

[1]. “$\hat{F}_{8}(x)$” 中的下标 “$8$” 指的是该 经 验 分 布 函 数 包含 $8$ 个样本；
[2]. 在概率论和梳理统计中，我们常常通过在一个符号的上面加上 $\hat{}$ 的方式表示这是一个“估计量”、“似然量”或者“猜测量”，而本文中的 经 验 分 布 函 数 也是一种“猜测函数”或者“估计函数”。

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应用例题

题目

某食品厂生产瓶装饮料，现从生产线上随机抽取 $4$ 瓶饮料，称得其净重（单位：$\mathrm{g})$ 为：$\textcolor{#00FF02}{356}$, $\textcolor{#00FF02}{352}$, $\textcolor{#00FF02}{346}$, $\textcolor{#00FF02}{352}$, 请写出该样本的 经 验 分 布 函 数 。

解析

首先，将抽取的 $4$ 瓶饮料的净重数据（即“样本观测值”）按照从小到大的顺序进行排列，这样才能方便我们接下来确定 经 验 分 布 函 数 各部分的区间：

$$
346, \quad 352, \quad 352, \quad 356
$$

接着，对样本观测值的出现频次进行统计，不同数值的样本出现的次数和频次如下表所示：

样本	$\textcolor{#00FF02}{346}$	$\textcolor{#00FF02}{352}$	$\textcolor{#00FF02}{356}$
次数	$1$	$2$	$1$
频次	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

综上，该样本的 经 验 分 布 函 数 $\hat{F}_{4}(x)$ 为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\hat{F}_{4}(x) = \begin{cases}
0, & x < 346 \\ \\
\frac{1}{4}, & 346 \leqslant x < 352 \\ \\
\frac{3}{4}, & 352 \leqslant x < 356 \\ \\
1, & x \geqslant 356
\end{cases}
}
$$

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