对数“和差”公式的完整证明

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理，分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式：

$$
\begin{aligned}
\log_{\alpha} M N & = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N \\
\log_{\alpha} \frac{M}{N} & = \log_{\alpha} M – \log_{\alpha} N
\end{aligned}
$$

二、正文

由定义得出的前提公式

根据对数的定义，若已知式子：

$$
\alpha^{m} = \beta^{n} \tag{1}
$$

则取对数后，得：

$$
\textcolor{pink}{
\log_{\alpha}^{\beta^{n}} = m } \tag{2}
$$

又因为，$(1)$ 式可以转换为：

$$
\alpha^{\frac{m}{n}} = \beta \tag{3}
$$

并且，对 $(3)$ 式取对数，可得：

$$
\log_{\alpha}^{\beta} = \frac{m}{n}
$$

即：

$$
\textcolor{pink}{
n \log_{\alpha}^{\beta} = m } \tag{4}
$$

于是可知，$(2)$ 式与 $(4)$ 式相等，即：

$$
\textcolor{pink}{
\log_{\alpha}^{\beta^{n}} = n \log_{\alpha}^{\beta}
}
$$

证明“乘化和”公式

根据前面的“前提公式” $\log_{\alpha}^{\beta^{n}}$ $=$ $n \log_{\alpha}^{\beta}$, 我们可以设 $M$ $=$ $\beta^{m}$, $N$ $=$ $\beta^{n}$, 于是有：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{ \log_{\alpha} MN } & = \log_{\alpha} \beta^{\textcolor{orange}{m}} \beta^{\textcolor{orange}{n}} \\ \\
& = \log_{\alpha} \beta^{\textcolor{orange}{m}+\textcolor{orange}{n}} \\ \\
& = (\textcolor{orange}{m}+\textcolor{orange}{n}) \log_{\alpha} \beta \\ \\
& = \textcolor{orange}{m} \log_{\alpha} \beta + \textcolor{orange}{n} \log_{\alpha} \beta \\ \\
& = \log_{\alpha} \beta^{\textcolor{orange}{m}} + \log_{\alpha} \beta^{\textcolor{orange}{n}} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N }
\end{aligned}
$$

证明“除化差”公式

根据上一步证明出来的公式，我们可得：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{ \log_{\alpha} \frac{M}{N} } & = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} \frac{1}{N} \\ \\
& = \log_{\alpha} M + \log_{\alpha} N^{\textcolor{orange}{-1} } \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \log_{\alpha} M \textcolor{orange}{-} \log_{\alpha} N }
\end{aligned}
$$

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