对数“和差”公式的完整证明

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过完善的逻辑推理，分别证明以下两个对数的“和”与“差”公式：

$$\begin{array}{rl}{\log }_{\alpha }MN& ={\log }_{\alpha }M+{\log }_{\alpha }N\\ {\log }_{\alpha }\frac{M}{N}& ={\log }_{\alpha }M–{\log }_{\alpha }N\end{array}$$

二、正文

由定义得出的前提公式

根据对数的定义，若已知式子：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\alpha }^m={\beta }^n\end{array}$$

则取对数后，得：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\log }_{\alpha }^{{\beta }^n}=m\end{array}$$

又因为，$(1)$ 式可以转换为：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\alpha }^{\frac{m}{n}}=\beta \end{array}$$

并且，对 $(3)$ 式取对数，可得：

$${\log }_{\alpha }^{\beta }=\frac{m}{n}$$

即：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& n{\log }_{\alpha }^{\beta }=m\end{array}$$

于是可知，$(2)$ 式与 $(4)$ 式相等，即：

$${\log }_{\alpha }^{{\beta }^n}=n{\log }_{\alpha }^{\beta }$$

证明“乘化和”公式

根据前面的“前提公式” ${\log }_{\alpha }^{{\beta }^n}$ $=$ $n{\log }_{\alpha }^{\beta }$, 我们可以设 $M$ $=$ ${\beta }^m$, $N$ $=$ ${\beta }^n$, 于是有：

$$\begin{array}{rl}{\log }_{\alpha }MN& ={\log }_{\alpha }{\beta }^m{\beta }^n\\ \\ & ={\log }_{\alpha }{\beta }^{m+n}\\ \\ & =(m+n){\log }_{\alpha }\beta \\ \\ & =m{\log }_{\alpha }\beta +n{\log }_{\alpha }\beta \\ \\ & ={\log }_{\alpha }{\beta }^m+{\log }_{\alpha }{\beta }^n\\ \\ & ={\log }_{\alpha }M+{\log }_{\alpha }N\end{array}$$

证明“除化差”公式

根据上一步证明出来的公式，我们可得：

$$\begin{array}{rl}{\log }_{\alpha }\frac{M}{N}& ={\log }_{\alpha }M+{\log }_{\alpha }\frac{1}{N}\\ \\ & ={\log }_{\alpha }M+{\log }_{\alpha }{N}^{-1}\\ \\ & ={\log }_{\alpha }M-{\log }_{\alpha }N\end{array}$$

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