转置运算中的矩阵必须是方阵吗？

一、前言

在矩阵的转置运算中，参与运算的矩阵必须是 $n\times n$ 阶的方阵吗？

二、正文

在矩阵的转置运算中，矩阵并不必须是方阵，因为，无论 $n$, $m$, $r$ 是否相等，对于任意一个 $n\times m$ 阶的矩阵 $\mathit{A}$ 和任意一个 $m\times r$ 阶的矩阵 $\mathit{B}$, 下面的转置运算律都成立：

$$\begin{array}{rl}({\mathit{A}}_{n\times m}^{\mathrm{\top }}{)}^{\mathrm{\top }}& ={\mathit{A}}_{m\times n}^{\mathrm{\top }}={\mathit{A}}_{n\times m}\\ \\ ({\mathit{A}}_{n\times m}+{\mathit{B}}_{m\times r}{)}^{\mathrm{\top }}& ={\mathit{A}}_{n\times m}^{\mathrm{\top }}+{\mathit{B}}_{m\times r}^{\mathrm{\top }}\\ \\ (k{\mathit{A}}_{n\times m}{)}^{\mathrm{\top }}& =k{\mathit{A}}_{n\times m}^{\mathrm{\top }}\\ \\ ({\mathit{A}}_{n\times m}{\mathit{B}}_{m\times r}{)}^{\mathrm{\top }}& ={\mathit{B}}_{m\times r}^{\mathrm{\top }}{\mathit{A}}_{n\times m}^{\mathrm{\top }}={\mathit{B}}_{r\times m}{\mathit{A}}_{m\times n}\end{array}$$

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