转置运算中的矩阵必须是方阵吗？

一、前言

在矩阵的转置运算中，参与运算的矩阵必须是 $n \times n$ 阶的方阵吗？

二、正文

在矩阵的转置运算中，矩阵并不必须是方阵，因为，无论 $\textcolor{orange}{n}$, $\textcolor{springgreen}{m}$, $\textcolor{orangered}{r}$ 是否相等，对于任意一个 $n \times m$ 阶的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和任意一个 $m \times r$ 阶的矩阵 $\boldsymbol{B}$, 下面的转置运算律都成立：

$$
\begin{aligned}
(\boldsymbol{A}^{\top}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{springgreen}{m}})^{\top} & = \boldsymbol{A}^{\top}_{\textcolor{springgreen}{m} \times \textcolor{orange}{n}} = \boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{springgreen}{m}} \\ \\
(\boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{springgreen}{m}} + \boldsymbol{B}_{\textcolor{springgreen}{m} \times \textcolor{orangered}{r}})^{\top} & = \boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{springgreen}{m}}^{\top} + \boldsymbol{B}_{\textcolor{springgreen}{m} \times \textcolor{orangered}{r}}^{\top} \\ \\
(k \boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{springgreen}{m}})^{\top} & = k \boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{springgreen}{m}}^{\top} \\ \\
(\boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{springgreen}{m}} \boldsymbol{B}_{\textcolor{springgreen}{m} \times \textcolor{orangered}{r}})^{\top} & = \boldsymbol{B}_{\textcolor{springgreen}{m} \times \textcolor{orangered}{r}}^{\top} \boldsymbol{A}_{\textcolor{orange}{n} \times \textcolor{springgreen}{m}}^{\top} = \boldsymbol{B}_{\textcolor{orangered}{r} \times \textcolor{springgreen}{m}} \boldsymbol{A}_{\textcolor{springgreen}{m} \times \textcolor{orange}{n}}
\end{aligned}
$$

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