伽马函数（欧拉第二积分/Gamma Function）详解

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们详细讲解考研高等数学以及概率论和数理统计课程中常用的伽马函数。

二、正文

什么是伽马函数

伽马函数的标准定义式：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{\Gamma }(\alpha )={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x\end{array}$$

若令 $x=t^2$, 则根据上面伽马函数的标准定义式，我们可以得到伽马函数的第二种定义式：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathrm{\Gamma }(\alpha )=2{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{t}^{2\alpha –1}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t\end{array}$$

伽马函数的计算方法/性质

$$\begin{array}{rl}(3)& \alpha >0\Rightarrow \mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )\\ \\ (4)& \alpha <1\Rightarrow \mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(1-\alpha )=\frac{\pi }{\sin \alpha \pi }\\ \\ (5)& n\in N^{+}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!\\ \mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!\end{array}\end{array}$$

关于上面 $(4)$ 式的证明：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)& ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha }{e}^{-x}\mathrm{d}x\\ \\ & =–{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha }\mathrm{d}\left(e^{-x}\right)\\ \\ & =-{e^{-x}{x}^{\alpha }|}_0^{+\mathrm{\infty }}+\alpha {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x}\cdot x^{\alpha -1}\mathrm{d}x\\ \\ & =\alpha \mathrm{\Gamma }(\alpha )\end{array}$$

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关于上面 $(5)$ 式的证明（根据 $(4)$ 式的结论）：

$$\begin{array}{r}\mathrm{\Gamma }(n)\\ & =(n-1)\mathrm{\Gamma }(n-1)\\ & =\cdots \\ & =(n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot \mathrm{\Gamma }(1)\\ & =(n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1\\ & =(n-1)!\end{array}$$

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伽马函数的特殊值

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Gamma }(1)=& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=1\\ \\ \mathrm{\Gamma }(2)=& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=1\\ \\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{-\frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=\sqrt{\pi }\\ \\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)=& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\end{array}$$

例题

$$\begin{array}{rl}(\mathrm{Ⅰ})& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^5{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=\mathrm{\Gamma }(5+1)\\ \\ (\mathrm{Ⅱ})& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\sqrt{x}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^{\frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x=\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+1)\\ \\ (\mathrm{Ⅲ})& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^3{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{16}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(2x{)}^3{\mathrm{e}}^{-2x}\mathrm{d}(2x)\\ & =\frac{1}{16}\mathrm{\Gamma }(3+1)\\ & =\frac{3!}{16}=\frac{3}{8}\\ \\ (\mathrm{Ⅳ})& {\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^4{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{\left(x^2\right)}^{\frac{3}{2}}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}(x^2)\\ & =\frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }(\frac{3}{2}+1)\\ & =\frac{1}{2}\frac{3}{2}\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}+1)\\ & =\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\sqrt{\pi }\\ & =\frac{3}{8}\sqrt{\pi }\end{array}$$

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