计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪”

一、题目

$$
D = \begin{vmatrix}
\textcolor{orange}{a_{0}} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{\cdots} & \textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{1} \\
\textcolor{orange}{1} & \textcolor{orange}{a_{1}} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & \textcolor{orange}{a_{2}} & \cdots & 0 & 0 \\
\textcolor{orange}{\vdots} & \vdots & \vdots & \textcolor{orange}{\ddots} & \vdots & \cdots \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & \textcolor{orange}{a_{n−1}} & 0 \\
\textcolor{orange}{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 & \textcolor{orange}{a_{n}}
\end{vmatrix} = ?
$$

难度评级：

二、解析

本题中橙色部分的内容看上去就像是一只“鸡爪”，对于这样的“鸡爪”型行列式，我们要做的就是消去最外侧的一个“爪”：

将行列式中第 $2$ 列乘以 $\textcolor{orange}{ \frac{-1}{a_{1}} }$ 加到第 $1$ 行（或者第 $1$ 列）即可消去第 $1$ 行的第 $2$ 个元素（或者第 $1$ 列的第 $2$ 个元素）。

类似的：

将第 $3$ 列乘以 $\textcolor{orange}{ \frac{-1}{a_{2}} }$ 加到第 $1$ 行；

··· ···

将第 $n$ 列乘以 $\textcolor{orange}{ \frac{-1}{a_{n-1}} }$ 加到第 $1$ 行；

将第 $( n+1 )$ 列乘以 $\textcolor{orange}{ -\frac{1}{ a_{n} } }$ 加至第 $1$ 行；

经过上面的运算之后，即可把行列式化为上三角行列式，从而得到其值，即：

$$
\begin{aligned}
D \\ \\
& = \begin{vmatrix}
\textcolor{springgreen}{ a_{0} – \sum_{ i=1 }^{n} \frac{1}{ a_{i}} } & \textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{1} & \textcolor{springgreen}{\cdots} & \textcolor{springgreen}{1} \\
0 & \textcolor{springgreen}{a_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \textcolor{springgreen}{a_{2}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \textcolor{springgreen}{a_{n}}
\end{vmatrix} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \left( a_{0} – \sum_{ i=1 }^{n} \frac{1}{ a_{i} } \right) }}
\end{aligned}
$$

其中，$a_{i}$ $\neq$ $0$, $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

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