计算“鸡爪型”行列式的思路：消去其中一“爪”

一、题目

$$D=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_0& 1& 1& \cdots & 1& 1\\ 1& a_1& 0& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& a_2& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \cdots \\ 1& 0& 0& \cdots & a_{n-1}& 0\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& a_n\end{array}\right|=?$$

难度评级：

二、解析

本题中橙色部分的内容看上去就像是一只“鸡爪”，对于这样的“鸡爪”型行列式，我们要做的就是消去最外侧的一个“爪”：

将行列式中第 $2$ 列乘以 $\frac{-1}{a_1}$ 加到第 $1$ 行（或者第 $1$ 列）即可消去第 $1$ 行的第 $2$ 个元素（或者第 $1$ 列的第 $2$ 个元素）。

类似的：

将第 $3$ 列乘以 $\frac{-1}{a_2}$ 加到第 $1$ 行；

··· ···

将第 $n$ 列乘以 $\frac{-1}{a_{n-1}}$ 加到第 $1$ 行；

将第 $(n+1)$ 列乘以 $-\frac{1}{a_n}$ 加至第 $1$ 行；

经过上面的运算之后，即可把行列式化为上三角行列式，从而得到其值，即：

$$\begin{array}{r}D\\ \\ & =\left|\begin{array}{ccccc}{a}_0–\sum _{i=1}^n\frac{1}{a_i}& 1& 1& \cdots & 1\\ 0& a_1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a_n\end{array}\right|\\ \\ & ={\mathit{a}}_{\mathbf{1}}{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\mathbf{\cdots }{\mathit{a}}_{\mathit{n}}\left({\mathit{a}}_{\mathbf{0}}–\mathbf{\sum }_{\mathit{i}\mathbf{=}\mathbf{1}}^{\mathit{n}}\frac{\mathbf{1}}{{\mathit{a}}_{\mathit{i}}}\right)\end{array}$$

其中，$a_i$ $\ne$ $0$, $i$ $=$ $1$, $2$, $\cdots$, $n$.

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