证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍

一、题目

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n\left[{(1+\frac{1}{n})}^n–\mathrm{e}\right]=?$$

难度评级：

二、分析

我们知道：

$$\mathrm{e}–\mathrm{e}=0$$

我们同时也知道：

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{k})}^k=\mathrm{e}$$

那么，下面的计算时否正确呢：

$$\begin{array}{rl}& \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{k})}^k–\mathrm{e}\\ \\ & =\mathrm{e}–\mathrm{e}\\ \\ & =0\end{array}$$

在本题中，我们可以知道，上面的计算过程是错误的，原因就在于，当 $k\to \mathrm{\infty }$ 的时候，只有：

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{k})}^k\mathbf{\to }\mathrm{e}$$

并没有：

$$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{k})}^k\mathbf{=}\mathrm{e}$$

三、计算

对于本题，首先根据海涅定理可知，对下面数列极限的求解：

$$x_n=n\left[{(1+\frac{1}{n})}^n–\mathrm{e}\right]$$

可以转化为对下面函数的求解（其中 $x>0$）：

$$f(x)=\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}–\mathrm{e}}{x}$$

于是：

$$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}f(x)\\ \\ & =\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{(1+x{)}^{\frac{1}{x}}–\mathrm{e}}{x}\\ \\ & =\mathrm{e}\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{\ln (1+x)}{x}-1}–{\mathrm{e}}^{\ln \mathrm{e}}}{x}\\ \\ & =\mathrm{e}\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{\ln (1+x)}{x}-1}–1}{x}\\ \\ & =\mathrm{e}\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\frac{\ln (1+x)}{x}–1}{x}\\ \\ & =\mathrm{e}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln (1+x)–x}{x^2}\\ \\ & \Rightarrow \text{洛必达运算}\Rightarrow \\ \\ & =\mathrm{e}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{1+x}–1}{2x}\\ \\ & =\frac{\mathrm{e}}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{1+x}–1}{x}\\ \\ & =\frac{\mathrm{e}}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{1+x}–\frac{1+x}{1+x}}{x}\\ \\ & =\frac{\mathrm{e}}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1-1-x}{1+x}}{x}\\ \\ & =\frac{\mathrm{e}}{2}\cdot \underset{x\to 0}{lim}\frac{-1}{1+x}\\ \\ & =\frac{\mathrm{e}}{2}\cdot (-1)\\ \\ & =–\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{2}}\end{array}$$

四、总结

从上面的计算可以看出，事实上：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[{(1+\frac{1}{n})}^n–\mathrm{e}\right]=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\mathrm{e}}{2n}$$

虽然 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-\mathrm{e}}{2n}$ $=$ $0$, 是一个无穷小量，但是，在经过 $\text{n}$ 倍放大之后，就无法再被忽略：

$$\begin{array}{rl}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\text{n}\cdot \left[{(1+\frac{1}{n})}^n–\mathrm{e}\right]\\ \\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\text{n}\cdot \frac{-\mathrm{e}}{2n}\\ \\ & =\frac{-\mathrm{e}}{2}\end{array}$$

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