证明无限趋于并不是等于的方法：放大无穷多倍

一、题目

$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } n \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} – \mathrm{e} \right] = ?
$$

难度评级：

二、分析

我们知道：

$$
\mathrm{e} – \mathrm{e} = 0
$$

我们同时也知道：

$$
\lim_{k \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{k} = \textcolor{orange}{\mathrm{e}}
$$

那么，下面的计算时否正确呢：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{k \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{k} – \mathrm{e} \\ \\
& = \textcolor{orange}{\mathrm{e}} – \mathrm{e} \\ \\
& = 0
\end{aligned}
$$

在本题中，我们可以知道，上面的计算过程是错误的，原因就在于，当 $k \rightarrow \infty$ 的时候，只有：

$$
\lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{k} \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\rightarrow}} \textcolor{orange}{\mathrm{e}}
$$

并没有：

$$
\lim_{k \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^{k} \textcolor{orangered}{\boldsymbol{=}} \textcolor{orange}{\mathrm{e}}
$$

三、计算

对于本题，首先根据海涅定理可知，对下面数列极限的求解：

$$
{ x_{n} } = n \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} – \mathrm{e} \right]
$$

可以转化为对下面函数的求解（其中 $x > 0$）：

$$
f(x) = \frac{ (1+x)^{ \frac{1}{x} } – \mathrm{e}}{x}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\lim_{ n \rightarrow \infty } { x_{n} } \\ \\
& = \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } f(x) \\ \\
& = \lim_{ x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1+x)^{ \frac{1}{x} } – \mathrm{e}}{x} \\ \\
& = \mathrm{e} \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{ \mathrm{e}^{ \frac{ \ln(1+x)}{x}-1} – \textcolor{magenta}{\mathrm{e}^{\ln \mathrm{e}} } }{x} \\ \\
& = \mathrm{e} \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{ \mathrm{e}^{ \textcolor{yellow}{ \frac{ \ln(1+x)}{x}-1 }} – \textcolor{magenta}{1} }{x} \\ \\
& = \mathrm{e} \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{ \textcolor{yellow}{ \frac{ \ln(1+x) }{x} – 1 } }{x} \\ \\
& = \mathrm{e} \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \ln( 1+x ) – x }{ x^{2}} \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{gray}{\text{洛必达运算}} \Rightarrow \\ \\
& = \mathrm{e} \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \frac{1}{1+x} – 1 }{2x} \\ \\
& = \frac{\mathrm{e}}{2} \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \frac{1}{1+x} – 1 }{x} \\ \\
& = \frac{\mathrm{e}}{2} \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \frac{1}{1+x} – \frac{1+x}{1+x} }{x} \\ \\
& = \frac{\mathrm{e}}{2} \lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ \frac{1-1-x}{1+x}}{x} \\ \\
& = \frac{\mathrm{e}}{2} \cdot \textcolor{tan}{ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-1}{1+x} } \\ \\
& = \frac{\mathrm{e}}{2} \cdot (\textcolor{tan}{-1}) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ – \frac{\mathrm{e}}{2} }}
\end{aligned}
$$

四、总结

从上面的计算可以看出，事实上：

$$
\lim_{ n \rightarrow \infty } \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} – \mathrm{e} \right] = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{- \mathrm{e}}{2 n}
$$

虽然 $\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{- \mathrm{e}}{2 n}$ $=$ $0$, 是一个无穷小量，但是，在经过 $\textcolor{white}{\colorbox{green}{n}}$ 倍放大之后，就无法再被忽略：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ n \rightarrow \infty } \textcolor{white}{\colorbox{green}{n}} \cdot \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} – \mathrm{e} \right] \\ \\
& = \lim_{x \rightarrow \infty} \textcolor{white}{\colorbox{green}{n}} \cdot \frac{- \mathrm{e}}{2 n} \\ \\
& = \frac{-\mathrm{e}}{2}
\end{aligned}
$$

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