计算含有“表述环路”的式子,首先需要“打破环路”

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 f(x) 在闭区间 [0,1] 上连续,在开区间 (0,1) 内可导,且:

f(1)=k01kxe1xf(x) dx

其中常数 k>1.

请证明存在 ξ(0,1), 使得下式成立:

f(ξ)=(11ξ)f(ξ)

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

观察可知,本题所给的式子含有表述上的“环路”,因为对函数 f 的表述使用了含有函数 f 的式子——也就是说,函数 f 同时存在于等号(=)的两边:

f(1) = k01kxe1xf(x) dx

但是,含有“环路”的式子有时候是不能被求解的,因为要求解的内容本身就是要求解的内容,正如我们不能通过一个人说的“我说的都是实话”来判断这个人说的是否是实话一样。

但好在本题所给的式子,是一个“假环路”,因为这个环路的成立是有附加条件的,并不完全取决于等号两边都存在的函数 f 本身。

所以,求解这个式子的第一步就是在表述形式上去除该式子的“环路”,方法就是——作辅助函数,在形式上替换掉等号(=)一侧的函数 f.

于是,尝试作辅助函数:

F(x)=xe1xf(x)

接着,当 x=1 的时候,有:

F(1)= 1e11f(1)= 11f(1)= f(1)= k01kxe1xf(x) dx

进而,根据积分中值定理可知,存在 0 η 1k < 1, 使得下式成立:

f(1)=k01kxe1xf(x) dx=k(1k0)ηe1ηf(η)=ηe1ηf(η)=F(η)F(1)=f(1)=F(η)

于是,根据罗尔中值定理可知,存在 ξ [η,1] (0,1), 使得下式成立:

 F(ξ)=[ηe1ηf(η)]η F(ξ)=e1ξf(ξ)ξe1ξf(ξ)+ξe1ξf(ξ)=0 f(ξ)ξf(ξ)+ξf(ξ)=0 ξf(ξ)=ξf(ξ)f(ξ) f(ξ)=f(ξ)1ξf(ξ) f(ξ)=(11ξ)f(ξ)

综上可知,证毕 荒原之梦考研数学 | 本文结束


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