计算含有“表述环路”的式子，首先需要“打破环路”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且：

$$
f(1)=k \int_0^{\frac{1}{k}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{~d} x
$$

其中常数 $k>1$.

请证明存在 $\xi \in(0,1)$, 使得下式成立：

$$
f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) \cdot f(\xi)
$$

难度评级：

二、解析

观察可知，本题所给的式子含有表述上的“环路”，因为对函数 $\textcolor{black}{\colorbox{orange}{f}}$ 的表述使用了含有函数 $\textcolor{black}{\colorbox{orange}{f}}$ 的式子——也就是说，函数 $\textcolor{black}{\colorbox{orange}{f}}$ 同时存在于等号（$\textcolor{white}{\colorbox{green}{=}}$）的两边：

$$
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{f}} (1) \ \textcolor{white}{\colorbox{green}{=}} \ k \int_0^{\frac{1}{k}} x \mathrm{e}^{1-x} \textcolor{black}{\colorbox{orange}{f}} (x) \mathrm{~d} x
$$

但是，含有“环路”的式子有时候是不能被求解的，因为要求解的内容本身就是要求解的内容，正如我们不能通过一个人说的“我说的都是实话”来判断这个人说的是否是实话一样。

但好在本题所给的式子，是一个“假环路”，因为这个环路的成立是有附加条件的，并不完全取决于等号两边都存在的函数 $\textcolor{black}{\colorbox{orange}{f}}$ 本身。

所以，求解这个式子的第一步就是在表述形式上去除该式子的“环路”，方法就是——作辅助函数，在形式上替换掉等号（$\textcolor{white}{\colorbox{green}{=}}$）一侧的函数 $\textcolor{black}{\colorbox{orange}{f}}$.

于是，尝试作辅助函数：

$$
\textcolor{yellow}{
F(x)=x \mathrm{e}^{1-x} f(x)
}
$$

接着，当 $x = 1$ 的时候，有：

$$
\begin{aligned}
& F(1) \\ \\
= & \ 1 \cdot \mathrm{e}^{1-1} f(1) \\ \\
= & \ 1 \cdot 1 \cdot f(1) \\ \\
= & \ f(1) \\ \\
= & \ \textcolor{yellow}{ k \int_0^{\frac{1}{k}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{~d} x }
\end{aligned}
$$

进而，根据积分中值定理可知，存在 $0$ $\leqslant$ $\eta$ $\leqslant$ $\frac{1}{k}$ $<$ $1$, 使得下式成立：

$$
\begin{aligned}
f(1) & = k \textcolor{pink}{ \int_0^{\frac{1}{k}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{~d} x } \\ \\
& = k \textcolor{pink}{ \left(\frac{1}{k}-0\right) \eta \mathrm{e}^{1-\eta} f(\eta) } \\ \\
& = \eta \mathrm{e}^{1-\eta} f(\eta) \\ \\
& = F(\eta) \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{orangered}{F(1)} = f(1) = \textcolor{orangered}{F(\eta)}
\end{aligned}
$$

于是，根据罗尔中值定理可知，存在 $\xi$ $\in$ $[\eta, 1]$ $\subset$ $(0, 1)$, 使得下式成立：

$$
\begin{aligned}
& \ F^{\prime}(\xi) = \left[ \eta \mathrm{e}^{1-\eta} f(\eta) \right] ^{\prime} _{\eta} \\ \\
\Leftrightarrow & \ F^{\prime}(\xi) = \textcolor{tan}{ \mathrm{e}^{1-\xi} } \cdot \textcolor{orange}{ f(\xi)} – \xi \cdot \textcolor{tan}{\mathrm{e}^{1-\xi} } \cdot \textcolor{orange}{ f(\xi) } + \xi \cdot \textcolor{tan}{\mathrm{e}^{1-\xi} } \cdot \textcolor{magenta}{ f^{\prime}(\xi) } = 0 \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{orange}{ f(\xi)} – \xi \cdot \textcolor{orange}{ f(\xi) } + \xi \cdot \textcolor{magenta}{ f^{\prime}(\xi) } = 0 \\ \\
\Leftrightarrow & \ \xi \cdot \textcolor{magenta}{ f^{\prime}(\xi) } = \xi \cdot \textcolor{orange}{ f(\xi) } – \textcolor{orange}{ f(\xi)} \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{magenta}{ f^{\prime}(\xi) } = \textcolor{orange}{ f(\xi) } – \frac{1}{\xi} \cdot \textcolor{orange}{ f(\xi)} \\ \\
\Leftrightarrow & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ f^{\prime}(\xi)=\left(1-\frac{1}{\xi}\right) f(\xi) }}
\end{aligned}
$$

综上可知，证毕

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