关于 r(A)+r(E-A)≥r(E) 的一个简单证明

一、前言

在考研数学的线性代数科目中，我们有时候会遇到要使用下面这个公式的题目：

$r (A) + r (E - A) ⩾ r (E)$

事实上，往年的考研数学真题中也曾出现过要用该性质的题目。但是，同学们在使用这个性质的时候，可能会对上面这个不等式为什么成立产生疑问，在文本中，「荒原之梦考研数学」就给出一种简单的证明方式，帮助同学们解除疑惑。

要证明下面这个不等式成立：

$r (A) + r (E - A) ⩾ r (E)$

我们只需要证明下面这个不等式不成立即可：

$r (A) + r (E - A) < r (E)$

假如矩阵 $A$ 和矩阵 $E$ 是三阶矩阵，且 $r (A)$ $=$ $2$ , 则说明矩阵 $A$ 在经过充分的初等变换化简之后，会剩余 $2$ 个非零行（列）和一个全零行（列）——

我们不妨假设矩阵 $A$ 的这个全零行是其第三行，则，矩阵 $E - A$ 的第三行一定不是全零行。此时，即便矩阵 $E - A$ 的第一行和第二行经过矩阵 $E$ 减去矩阵 $A$ 的运算变成了全零行，仍然有：

$r (E - A) = 1$

此时：

$\begin{aligned} r (A) + r (E - A) \\ = & 2 + 1 \\ = & 3 = r (E) \end{aligned}$

但是，矩阵 $E$ 减去矩阵 $A$ 不一定会导致矩阵 $E - A$ 的第一行和第二行全为零，即：

$r (E - A) ⩾ 1$

于是，下式得证：

$r (A) + r (E - A) ⩾ r (E)$