用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）

一、题目

求下面函数的 $n$ 阶导数：

$$
\begin{aligned}
y_{1} & = \sin x \\
y_{2} & = \cos x \\
y_{3} & = \frac{1}{x + 1}
\end{aligned}
$$

难度评级：

二、解析

用归纳法求解函数 $n$ 阶的主线任务就是：

1. 至少要求解出来一阶导、二阶导和三阶导；
2. 尽可能减少求解出来的不同阶的导数的不同部分，增加其相同部分。

$y_{1}$

Note

对 $y_{1}$ 的求导归纳需要用到三角函数的“奇变偶不变，符号看象限”原则。

zhaokaifeng.com

已知：

$$
y_{1} = \sin x
$$

又因为：

$$
\begin{aligned}
y_{1}^{\prime} & = \cos x \\ \\
& = \sin \left( x + \textcolor{orangered}{1 \cdot \frac{\pi}{2} } \right) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) } \\ \\ \\
y_{1}^{\prime \prime} & = \left[ \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \right]^{\prime} \\ \\
& = \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \\ \\
& = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} + \textcolor{orangered}{1 \cdot \frac{\pi}{2} } \right) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \sin \left( x + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) } \\ \\ \\
y_{1}^{\prime \prime \prime} & = \left[ \sin \left( x + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) \right] ^{\prime} \\ \\
& = \cos \left( x + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) \\ \\
& = \cos \left( x + 2 \cdot \frac{\pi}{2} + \textcolor{orangered}{1 \cdot \frac{\pi}{2}} \right) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \sin \left( x + 3 \cdot \frac{\pi}{2} \right) }
\end{aligned}
$$

于是，根据数学归纳法，可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y_{1}^{(n)} = (\sin x)^{(n)} = \sin \left(x + n \cdot \frac{\pi}{2} \right)
}
}
$$

事实上，如果 $k$, $b$ 为常数，则：

$$
\textcolor{yellow}{\Large{\boldsymbol{\star}}} \quad
\textcolor{orange}{
\boldsymbol{
\sin ^{(n)} (k x + b) = k^{n} \sin \left( kx + n \cdot \frac{\pi}{2} + b \right)
}
}
$$

$y_{2}$

Note

对 $y_{2}$ 的求导归纳需要用到三角函数的“奇变偶不变，符号看象限”原则。

zhaokaifeng.com

已知：

$$
y_{2} = \cos x
$$

又因为：

$$
\begin{aligned}
y_{2}^{\prime} & = – \sin x \\ \\
& = \cos \left( x + \textcolor{orangered}{1 \cdot \frac{\pi}{2}} \right) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) } \\ \\ \\
y_{2} ^{\prime \prime} & = \left[ \cos \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \right] ^{\prime} \\ \\
& = – \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \\ \\
& = \cos \left( x + \frac{\pi}{2} + \textcolor{orangered}{1 \cdot \frac{\pi}{2}} \right) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \cos \left( x + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) } \\ \\ \\
y_{2} ^{\prime \prime \prime} & = \left[ \cos \left( x + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) \right] ^{\prime} \\ \\
& = – \sin \left( x + 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) \\ \\
& = \cos \left( x + 2 \cdot \frac{\pi}{2} + \textcolor{orangered}{1 \cdot \frac{\pi}{2}} \right) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \cos \left( x + 3 \cdot \frac{\pi}{2} \right) }
\end{aligned}
$$

于是，根据数学归纳法，可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y_{2}^{(n)} = (\cos x)^{(n)} = \cos \left( x + n \cdot \frac{\pi}{2} \right)
}
}
$$

事实上，如果 $k$, $b$ 为常数，则：

$$
\textcolor{yellow}{\Large{\boldsymbol{\star}}} \quad
\textcolor{orange}{
\boldsymbol{
\cos ^{(n)} (k x + b) = k^{n} \cos \left( kx + n \cdot \frac{\pi}{2} + b \right)
}
}
$$

$y_{3}$

已知：

$$
y_{3} = \frac{1}{x + 1}
$$

又因为：

$$
\begin{aligned}
y_{3}^{\prime} & = \textcolor{springgreen}{ \frac{-1}{(1+x)^{2}} } \\ \\ \\
y_{3}^{\prime \prime} & = \left[ \frac{-1}{(1+x)^{2}} \right] ^{\prime} \\ \\
& = \frac{- (-1) 2(1+x)}{(1+x)^{4}} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \frac{(-1)(-2)}{(1+x)^{3}} } \\ \\ \\
y_{3}^{\prime \prime \prime} & = \left[ \frac{(-1)(-2)}{(1+x)^{3}} \right] ^{\prime} \\ \\
& = \frac{-(-1) (-2) 3 (1+x)^{2}}{(1+x)^{6}} \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ \frac{(- 1)(-2)(-3)}{(1+x)^{4}} }
\end{aligned}
$$

于是，根据数学归纳法，可得：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y_{3}^{(n)} = \frac{(-1)^{n} \times n! }{(1+x)^{n+1}}
}
}
$$

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