用归纳法求函数的 n 阶导数（附 sin 与 cos 的 n 阶导公式）

一、题目

求下面函数的 $n$ 阶导数：

$\begin{aligned} y_{1} & = \sin x \\ y_{2} & = \cos x \\ y_{3} & = \frac{1}{x + 1} \\ y_{4} & = \frac{- 1}{x} \end{aligned}$

难度评级：

二、解析

用归纳法求解函数 $n$ 阶的主线任务就是：

至少要求解出来一阶导、二阶导和三阶导；
尽可能减少求解出来的不同阶的导数的不同部分，增加其相同部分。

$y_{1}$ $=$ $\sin x$

Note

对 $y_{1}$ 的求导归纳需要用到三角函数的“奇变偶不变，符号看象限”原则。
zhaokaifeng.com

已知：

$y_{1} = \sin x$

又因为：

$\begin{aligned} y_{1}^{'} & = \cos x \\ = \sin (x + 1 \cdot \frac{π}{2}) \\ = \sin (x + \frac{π}{2}) \\ y_{1}^{''} & = {[\sin (x + \frac{π}{2})]}^{'} \\ = \cos (x + \frac{π}{2}) \\ = \sin (x + \frac{π}{2} + 1 \cdot \frac{π}{2}) \\ = \sin (x + 2 \cdot \frac{π}{2}) \\ y_{1}^{'''} & = {[\sin (x + 2 \cdot \frac{π}{2})]}^{'} \\ = \cos (x + 2 \cdot \frac{π}{2}) \\ = \cos (x + 2 \cdot \frac{π}{2} + 1 \cdot \frac{π}{2}) \\ = \sin (x + 3 \cdot \frac{π}{2}) \end{aligned}$

于是，根据数学归纳法，可得：

$y_{1}^{(n)} = (\sin x)^{(n)} = \sin (x + n \cdot \frac{π}{2})$

事实上，如果 $k$ , $b$ 为常数，则：

$⋆ \sin^{(n)} (k x + b) = k^{n} \sin (k x + n \cdot \frac{π}{2} + b)$

$y_{2}$ $=$ $\cos x$

Note

对 $y_{2}$ 的求导归纳需要用到三角函数的“奇变偶不变，符号看象限”原则。
zhaokaifeng.com

已知：

$y_{2} = \cos x$

又因为：

$\begin{aligned} y_{2}^{'} & = - \sin x \\ = \cos (x + 1 \cdot \frac{π}{2}) \\ = \cos (x + \frac{π}{2}) \\ y_{2}^{''} & = {[\cos (x + \frac{π}{2})]}^{'} \\ = - \sin (x + \frac{π}{2}) \\ = \cos (x + \frac{π}{2} + 1 \cdot \frac{π}{2}) \\ = \cos (x + 2 \cdot \frac{π}{2}) \\ y_{2}^{'''} & = {[\cos (x + 2 \cdot \frac{π}{2})]}^{'} \\ = - \sin (x + 2 \cdot \frac{π}{2}) \\ = \cos (x + 2 \cdot \frac{π}{2} + 1 \cdot \frac{π}{2}) \\ = \cos (x + 3 \cdot \frac{π}{2}) \end{aligned}$

于是，根据数学归纳法，可得：

$y_{2}^{(n)} = (\cos x)^{(n)} = \cos (x + n \cdot \frac{π}{2})$

事实上，如果 $k$ , $b$ 为常数，则：

$⋆ \cos^{(n)} (k x + b) = k^{n} \cos (k x + n \cdot \frac{π}{2} + b)$

$y_{3}$ $=$ $\frac{1}{x + 1}$

已知：

$y_{3} = \frac{1}{x + 1}$

又因为：

$\begin{aligned} y_{3}^{'} & = \frac{- 1}{(1 + x)^{2}} \\ y_{3}^{''} & = {[\frac{- 1}{(1 + x)^{2}}]}^{'} \\ = \frac{- (- 1) 2 (1 + x)}{(1 + x)^{4}} \\ = \frac{(- 1) (- 2)}{(1 + x)^{3}} \\ y_{3}^{'''} & = {[\frac{(- 1) (- 2)}{(1 + x)^{3}}]}^{'} \\ = \frac{- (- 1) (- 2) 3 (1 + x)^{2}}{(1 + x)^{6}} \\ = \frac{(- 1) (- 2) (- 3)}{(1 + x)^{4}} \end{aligned}$

于是，根据数学归纳法，可得：

$y_{3}^{(n)} = \frac{(- 1)^{n} \times n!}{(1 + x)^{n + 1}} = (- 1)^{n} \times n! \times y_{3}^{n + 1}$

$y_{4}$ $=$ $\frac{- 1}{x}$

当 $y_{4}$ $=$ $\frac{- 1}{x}$ 时，有：

$\begin{array}{ll} y_{4}^{'} = \frac{1}{x^{2}} \\ y_{4}^{2} = \frac{1}{x^{2}} \end{array}} \Rightarrow y_{4}^{'} = y_{4}^{2}$

又由于：

$\begin{aligned} y_{4}^{''} = - 2 \times \frac{1}{x^{3}} = - 2 \times y_{4}^{3} \\ y_{4}^{'''} = - 2 \times (- 3) \times \frac{1}{x^{4}} = 3 \times 2 \times y_{4}^{4} \end{aligned}$

于是，归纳总结可得：

$y_{4}^{(n)} = n! \times y_{4}^{n + 1}$

用归纳法求函数的 $n$ 阶导数（附 $\sin$ 与 $\cos$ 的 $n$ 阶导公式）

一、题目