用定积分的定义求解时怎么进行积分区间的分割？

一、前言

在考研数学中，用定积分的定义求解某些定积分或者数列的值，是一种很常见的考题。

假如我们要用定积分的定义求解区间 $[a,b]$ 上的积分值，我们应该以什么样的方式划分 $[a,b]$ 这个区间呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲一讲上面这个问题。

二、正文

方法

在用定积分的定义求解时，我们对积分区间的划分要注意以下三个方面：

1. 不一定要等分：积分区间要划分成无数多份，但每一份不一定要等分；
2. 单变量：对积分区间的划分只能涉及一个变量，不能涉及两个或者更多个变量；
3. 首尾与区间要对齐：划分区间的时候，必须能表示出来区间的“首”和“尾”，如果在表示区间首尾的时候需要引入未知量，那么，最好应该令对“首”或者“尾”的表示不受该未知量取值的影响，不然就需要同时考虑对齐积分区间的“首”和“尾”，会导致问题变得很复杂。

示例 01：积分区间为 $[0,1]$

积分区间为 $[0,1]$ 是我们在用定积分的定义解题的时候很常见的一种区间，一般情况下，我们会将该区间平均分成 $n$ 份，每一份的大小为 $\frac{1}{n}$.

此时，坐标的起点为 $\frac{1}{n}$, 坐标的终点为 $\frac{n}{n}$, 如果我们令 $n$ 从 $1$ 开始向无穷大计数，则该积分区间就会被分成无数份，且刚好可以覆盖整个积分区间，因为：

$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}& =0\\ \\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{n}& =1\end{array}$$

示例 02：积分区间为 $[1,2]$

积分区间为 $[1,2]$ 也是一个常见的区间，此时，我们在选择划分该区间的方式的时候，可以首先保证对齐该区间的“首”，也就是 $x=1$ 这个位置。因此，我们可以令区间的划分从下面开始：

$$k^0$$

之所以选择 $k^0$ 作为划分的起点，是因为无论变量 $k$ 等于多少，始终有 $k^0$ $=$ $1$, 这样我们就不用考虑 $k$ 的取值对区间“首”部的影响了，只需要考虑 $k$ 取什么值能够满足区间“尾”部为 $2$ 这一个问题。

这里需要注意的是，$k$ 并 不 是 一个 变 量 ，而 是 一个 未 知 数 ，所以，我们接下来需要确定 $k$ 的取值，也就是令：

$$\begin{array}{rl}& k^n=2\\ \Rightarrow & k=2^{\frac{1}{n}}\end{array}$$

综上，我们对区间 $[1,2]$ 的划分，就是通过下面这些分段点完成的：

$$\{\begin{array}{l}{x}_0=k^0=1\\ x_1=k^1\\ x_2=k^2\\ ⋮\\ x_{i-1}=k^{i-1}\\ x_i=k^i\\ x_{i+1}=k^{i+1}\\ ⋮\\ x_n=k^n=2\end{array}$$

但是，如果我们细心比较就会发现，上面每个分段的宽度 $\mathrm{\Delta }{x}_i$，其实是不相等的，而是受到 $i$ 的取值的影响：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }{x}_i=& k^i–k^{i-1}\\ =& k^{i-1}(k-1)\\ =& 2^{\frac{i–1}{n}}(k-1)\end{array}$$

但是，当分段足够多的时候，也就是当 $n\to \mathrm{\infty }$ 的时候，就会有 $\frac{i–1}{n}\to 0$, 此时，$\frac{i–1}{n}$ 对 $\mathrm{\Delta }{x}_i$ 整体造成的影响就会比较小，可以认为此时的分段是“极限状态下的平均”。

所以，原则上我们对积分区间的划分需要是“平均”的，但出于实际计算的需求，我们可能不会做到“ 绝 对 的 平 均 ”，因为只要将区间分成无穷多份，我们就可以获得“ 极 限 状 态 下 的 平 均 ”，这样的平均也是可以接受的，并且不影响计算的准确性。

示例 03：积分区间为 $[2,4]$

对积分区间为 $[2,4]$ 的划分，可以参考前面对积分区间为 $[1,2]$ 的划分，只需要乘以一个系数 $2$ 即可：

$$\{\begin{array}{ll}{x}_0& =2k^0=2\\ x_1& =2k^1\\ x_2& =2k^2\\ ⋮\\ x_{i-1}& =2k^{i-1}\\ x_i& =2k^i\\ x_{i+1}& =2k^{i+1}\\ ⋮\\ x_n& =2k^n=4\end{array}$$

Warning

需要注意的是，在进行区间划分的时候，一般只能引入一个变量，如果引入两个，将使得式子变得非常复杂。例如，当积分区间为 $[2,4]$ 的时候，我们不能同时引入两个变量 $n$ 和 $m$, 对区间 $[2,4]$ 进行如下的划分：

$$\{\begin{array}{ll}{x}_0=& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n+0}{n}=2\\ \\ x_1=& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n+1}{n}\\ \\ x_2=& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n+2}{n}\\ \\ & ⋮\\ \\ x_n=& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n+m}{n}=4\\ \end{array}$$

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示例 04：积分区间为 $[2,3]$

对积分区间为 $[2,3]$ 的划分，可以参考前面对积分区间为 $[1,2]$ 的划分，只需要加上一个数字 $1$ 即可：

$$\{\begin{array}{ll}{x}_0& =k^0+1=2\\ x_1& =k^1+1\\ x_2& =k^2+1\\ ⋮\\ x_{i-1}& =k^{i-1}+1\\ x_i& =k^i+1\\ x_{i+1}& =k^{i+1}+1\\ ⋮\\ x_n& =k^n+1=3\end{array}$$

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