用定积分的定义求解时怎么进行积分区间的分割？

一、前言

在考研数学中，用定积分的定义求解某些定积分或者数列的值，是一种很常见的考题。

假如我们要用定积分的定义求解区间 $[a, b]$ 上的积分值，我们应该以什么样的方式划分 $[a, b]$ 这个区间呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲一讲上面这个问题。

二、正文

方法

在用定积分的定义求解时，我们对积分区间的划分要注意以下三个方面：

1. 不一定要等分：积分区间要划分成无数多份，但每一份不一定要等分；
2. 单变量：对积分区间的划分只能涉及一个变量，不能涉及两个或者更多个变量；
3. 首尾与区间要对齐：划分区间的时候，必须能表示出来区间的“首”和“尾”，如果在表示区间首尾的时候需要引入未知量，那么，最好应该令对“首”或者“尾”的表示不受该未知量取值的影响，不然就需要同时考虑对齐积分区间的“首”和“尾”，会导致问题变得很复杂。

示例 01：积分区间为 $[0, 1]$

积分区间为 $[0, 1]$ 是我们在用定积分的定义解题的时候很常见的一种区间，一般情况下，我们会将该区间平均分成 $n$ 份，每一份的大小为 $\frac{1}{n}$.

此时，坐标的起点为 $\frac{1}{n}$, 坐标的终点为 $\frac{n}{n}$, 如果我们令 $n$ 从 $1$ 开始向无穷大计数，则该积分区间就会被分成无数份，且刚好可以覆盖整个积分区间，因为：

$$
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} & = 0 \\ \\
\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} & = 1
\end{aligned}
$$

示例 02：积分区间为 $[1, 2]$

积分区间为 $[1, 2]$ 也是一个常见的区间，此时，我们在选择划分该区间的方式的时候，可以首先保证对齐该区间的“首”，也就是 $x = 1$ 这个位置。因此，我们可以令区间的划分从下面开始：

$$
k^{0}
$$

之所以选择 $k^{0}$ 作为划分的起点，是因为无论变量 $k$ 等于多少，始终有 $k^{0}$ $=$ $1$, 这样我们就不用考虑 $k$ 的取值对区间“首”部的影响了，只需要考虑 $k$ 取什么值能够满足区间“尾”部为 $2$ 这一个问题。

这里需要注意的是，$k$ 并 不 是 一个 变 量 ，而 是 一个 未 知 数 ，所以，我们接下来需要确定 $k$ 的取值，也就是令：

$$
\begin{aligned}
& k^{n} = 2 \\
\Rightarrow & \ k = 2^{\frac{1}{n}}
\end{aligned}
$$

综上，我们对区间 $[1, 2]$ 的划分，就是通过下面这些分段点完成的：

$$
\begin{cases}
x_{0} = k^{0} = 1 \\
x_{1} = k^{1} \\
x_{2} = k^{2} \\
\vdots \\
x_{i-1} = k^{i-1} \\
x_{i} = k^{i} \\
x_{i+1} = k^{i+1} \\
\vdots \\
x_{n} = k^{n} = 2
\end{cases}
$$

但是，如果我们细心比较就会发现，上面每个分段的宽度 $\Delta x_{i}$，其实是不相等的，而是受到 $i$ 的取值的影响：

$$
\begin{aligned}
\Delta x_{i} = & \ k^{i} – k^{i-1} \\
= & \ k^{i-1} (k-1) \\
= & \ 2^{\textcolor{springgreen}{ \frac{i – 1}{n} }} (k-1)
\end{aligned}
$$

但是，当分段足够多的时候，也就是当 $n \rightarrow \infty$ 的时候，就会有 $\textcolor{springgreen}{ \frac{i – 1}{n} } \rightarrow 0$, 此时，$\textcolor{springgreen}{ \frac{i – 1}{n} }$ 对 $\Delta x_{i}$ 整体造成的影响就会比较小，可以认为此时的分段是“极限状态下的平均”。

所以，原则上我们对积分区间的划分需要是“平均”的，但出于实际计算的需求，我们可能不会做到“ 绝 对 的 平 均 ”，因为只要将区间分成无穷多份，我们就可以获得“ 极 限 状 态 下 的 平 均 ”，这样的平均也是可以接受的，并且不影响计算的准确性。

示例 03：积分区间为 $[2, 4]$

对积分区间为 $[2, 4]$ 的划分，可以参考前面对积分区间为 $[1, 2]$ 的划分，只需要乘以一个系数 $\textcolor{pink}{2}$ 即可：

$$
\begin{cases}
x_{0} & = \textcolor{pink}{2} k^{0} = 2 \\
x_{1} & = \textcolor{pink}{2} k^{1} \\
x_{2} & = \textcolor{pink}{2} k^{2} \\
\vdots \\
x_{i-1} & = \textcolor{pink}{2} k^{i-1} \\
x_{i} & = \textcolor{pink}{2} k^{i} \\
x_{i+1} & = \textcolor{pink}{2} k^{i+1} \\
\vdots \\
x_{n} & = \textcolor{pink}{2} k^{n} = 4
\end{cases}
$$

Warning

需要注意的是，在进行区间划分的时候，一般只能引入一个变量，如果引入两个，将使得式子变得非常复杂。例如，当积分区间为 $[2, 4]$ 的时候，我们不能同时引入两个变量 $n$ 和 $m$, 对区间 $[2, 4]$ 进行如下的划分：

$$
\textcolor{orangered}{
\begin{cases}
x_{0} = & \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 0}{n} = 2\\ \\
x_{1} = & \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{n} \\ \\
x_{2} = & \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 2}{n} \\ \\
& \vdots \\ \\
x_{n} = & \lim_{n \to \infty} \frac{2n + m}{n} = 4 \\ \\
\end{cases}
}
$$

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示例 04：积分区间为 $[2, 3]$

对积分区间为 $[2, 3]$ 的划分，可以参考前面对积分区间为 $[1, 2]$ 的划分，只需要加上一个数字 $\textcolor{yellow}{1}$ 即可：

$$
\begin{cases}
x_{0} & = k^{0} + \textcolor{yellow}{1} = 2 \\
x_{1} & = k^{1} + \textcolor{yellow}{1} \\
x_{2} & = k^{2} + \textcolor{yellow}{1} \\
\vdots \\
x_{i-1} & = k^{i-1} + \textcolor{yellow}{1} \\
x_{i} & = k^{i} + \textcolor{yellow}{1} \\
x_{i+1} & = k^{i+1} + \textcolor{yellow}{1} \\
\vdots \\
x_{n} & = k^{n} + \textcolor{yellow}{1} = 3
\end{cases}
$$

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