级数 limn n=1n ein 求和怎么计算?

一、题目题目 - 荒原之梦

I=limnn=1nein=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

I= limnn=1nein= limn(e1n+e2n++en2n+en1n+enn)= limn(e+en1n+en2n++e2n+e1n)

又因为:

{en1n=e1+n1n1=e1+1n=ee1n=e(e1n)1en2n=ee2n=e(e1n)2en3n=ee3n=e(e1n)3e2n=ee2nn=e(e1n)n2e1n=ee1nn=e(e1n)n1

于是:

I= limn(e+en1n+en2n++e2n+e1n)= limn[e1+e(e1n)1+e(e1n)2+e(e1n)3+ e(e1n)n2+e(e1n)n1]= limne[1+(e1n)1+(e1n)2+(e1n)3++(e1n)n2+(e1n)n1]

由于 1 + (e1n)1 + (e1n)2 + (e1n)3 + + (e1n)n2 + (e1n)n1 其实就是一个首项为 1, 公比为 e1n 的等比数列的前 n 项和(含有 “e1n” 的项有 n1 个,再加上一个首项 “1”, 所以共有 n),即:

1+(e1n)1+(e1n)2+(e1n)3++(e1n)n2+(e1n)n1= 1[1(e1n)n]1e1n= [1(e1n)n]1e1n

于是:

I= limnn=1nein= limne[1+(e1n)1+(e1n)2+(e1n)3++(e1n)n2+(e1n)n1]= limne[1(e1n)n]1e1n= limne[1(e1)]1e1n= limne(11e)e1n1e1n= limne(11e)1e1ne1n1= limne11e1ne1n1= limne1n(e1)e1n1= limn1(e1)1n= limnn(e1)


荒原之梦考研数学思维导图
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