对等式等号两边同时做操作的时候要注意“对等原则”

一、前言

在做题的时候，我们可能需要借助同时在等式的等号两边做某种操作的方式对原式进行变形处理，例如对等号两边同时取对数、同时求导、同时取倒数、同时乘以或者除以某个量等。

但是，在做这些操作的时候，我们必须要注意“对等原则”。所谓“对等原则”，就是等号两边无论各自有多少组成部分，都要以等号为界，分为两个整体，做任何操作，都要以这两个整体为基本单位进行。

接下来，「荒原之梦考研数学」将通过一些实际的例子，给同学们讲清楚这个计算过程中的易错点。

Note

换句话说，所谓“对等原则”要解决的问题就是：对等式两边取对数，是对整体“取”，还是各项“取”？

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二、正文

对等号两端的式子做操作的时候忽略“对等原则”是一个非常容易产生的计算错误。「荒原之梦考研数学」认为，同学们容易产生这个错误的主要原因，是有些计算操作对“对等原则”不那么“敏感”，因为这些计算操作本身就可以“拆分”，例如在式子 $y$ $=$ $x + 1$ 的等号两边同时乘以一个数字 $\textcolor{orangered}{2}$, 可以看到，下面的两种计算方式都正确：

$$
\begin{aligned}
& y = x + 1 \\
\Rightarrow \ & \textcolor{orangered}{2} \times y = \textcolor{orangered}{2} \times (x + 1) \\ \\
& y = x + 1 \\
\Rightarrow \ & \textcolor{orangered}{2} \times y = \textcolor{orangered}{2} \times x + \textcolor{orangered}{2} \times 1
\end{aligned}
$$

但是，对于另外一些计算操作，我们则要格外注意“对等原则”。例如，对式子 $2$ $=$ $1 + 1$ 的两端同时取倒数，很显然，下面的计算方法是错误的，因为该计算导致原本的等号不再成立：

$$
\begin{aligned}
& 2 = 1 + 1 \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{\textcolor{orangered}{1}}{2} = \frac{\textcolor{orangered}{1}}{1} + \frac{\textcolor{orangered}{1}}{1} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{yellow}{ \frac{1}{2} = 1 + 1 }
\end{aligned}
$$

下面使用了“对等原则”的计算方式才是正确的：

$$
\begin{aligned}
& 2 = 1 + 1 \\ \\
\Rightarrow \ & \frac{\textcolor{orangered}{1}}{2} = \frac{\textcolor{orangered}{1}}{1 + 1} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} }
\end{aligned}
$$

类似的，还有对等号两端同时取对数。

由于在对数函数中，我们只能将 $\log_{a}^{M \cdot N}$ 拆分为 $\log_{a}^{M}$ $+$ $\log_{a}^{N}$, 或者将 $\log_{a}^{\frac{M}{N}}$ 拆分为 $\log_{a}^{M}$ $-$ $\log_{a}^{N}$, 所以下面的计算就是错误的：

$$
\begin{aligned}
& y = x^{2} + x \\
\Rightarrow \ & \textcolor{yellow}{ \textcolor{orangered}{\ln} y = \textcolor{orangered}{\ln} x^{2} + \textcolor{orangered}{\ln} x } \\
\Rightarrow \ & \ln y = \ln (x^{2} \cdot x) \\
\end{aligned}
$$

而下面的计算才是正确的：

$$
\begin{aligned}
& y = x^{2} + x \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{ \textcolor{orangered}{\ln} y = \textcolor{orangered}{\ln} (x^{2} + x) }
\end{aligned}
$$

需要注意的是，基于“对等原则”得到的新式子只能保证新式子的等号仍然成立，但不能保证新式子和原来的式子完全一致。

例如，$y$ $=$ $x^{2}$ $+$ $x$ 的函数图象如图 01 中红色曲线所示；$\ln y$ $=$ $\ln (x^{2} + x)$ 的函数图像如图 02 中蓝色曲线所示，可以看到，这个蓝色曲线与红色曲线并不完全重合；$\ln y$ $=$ $\ln x^{2}$ $+$ $\ln x$ 的函数图像如图 03 中绿色曲线所示，这个绿色曲线则与红色曲线大部分都不重合：

Tip

上面的图片为矢量图，可以放大页面查看细节。

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当然，忘记“对等原则”经常会发生在使用加法或者减法连接的式子上，如果是乘法和除法连接的式子，则一般不会忘记“对等原则”，但是仍然需要多加注意。

例如，对式子 $y$ $=$ $\frac{2}{x}$ 等号两端同时进行求导运算，我们一般都能写出来如下的正确计算过程：

$$
\begin{aligned}
& y = \frac{2}{x} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ y ^{\prime} = \frac{-2}{x^{2}} }}
\end{aligned}
$$

一般不会因为忘记“对等原则”而写出来下面这个错误的计算过程：

$$
\begin{aligned}
& y = \frac{2}{x} \\ \\
\Rightarrow \ & y ^{\prime} = \frac{2 ^{\prime} }{x ^{\prime}} \\ \\
\Rightarrow \ & \textcolor{yellow}{ y ^{\prime} = \frac{0}{1} = 0 }
\end{aligned}
$$

此外，有些对式子进行变形的操作，从原理上来说就不能或者无需在式子的等号两端同时进行。例如，对式子 $y$ $=$ $x^{x}$ 使用“$\mathrm{e}$ 抬起”变形，则只需对 “$x^{x}$” 这一个部分相应的运算进行，即：

$$
\begin{aligned}
& y = x^{x} \\
\Rightarrow \ & y = \mathrm{e}^{\ln x^{x}} \\
\Rightarrow \ & \textcolor{springgreen}{y = \mathrm{e}^{x \ln x}}
\end{aligned}
$$

而无需对式子 $y$ $=$ $x^{x}$ 的等号两端同时使用“$\mathrm{e}$ 抬起”运算：

$$
\begin{aligned}
& y = x^{x} \\
\Rightarrow \ & \textcolor{pink}{ \mathrm{e}^{\ln y} = e^{\ln x^{x}} }
\end{aligned}
$$

虽然 $\mathrm{e}^{\ln y}$ $=$ $e^{\ln x^{x}}$ 这个式子本身是成立的，但这样做变形处理并不符合我们的一般计算需求，可以说这样的变形处理只是一种徒增复杂度的无效变形。

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