求导去积分符号,积分去求导符号

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 f(x) 为连续函数,且 f(x) = 0xef(t) dt, 则当 n 2 时:

f(n)(0)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先要知道,本题隐藏着一个已知条件:

f(0)=0xef(t) dt|x=0=0

于是:

f(x)=0xef(t) dt 等号两边同时对 x 求导 f(x)=ef(x) ef(x)f(x)=ef(x)ef(x) ef(x)f(x)=1 等号两边同时对 x 积分 ef(x)f(x) dx=1 dx ef(x)=x+C f(0)=0e0=CC=1 ef(x)=x+1 f(x)=ln(x+1)

由于 ln(1+x)x=0 处的泰勒展开式(麦克劳林展开式)为:

ln(1+x)=n=0(1)nn+1xn+1=n=1(1)n1nxn

接着,根据泰勒公式可知,泰勒展开式的第 n 项为:

f(n)(x0)n!(xx0)n x0=0 f(n)(0)n!xn

所以:

f(n)(0)n!xn=(1)n1nxn f(n)(0)n!=(1)n1n f(n)(0)=(1)n1nn! f(n)(0)=(1)n1n(n1)!n f(n)(0)=(1)n1(n1)!

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[01]. 使用麦克劳林公式(泰勒公式)求解函数 n 阶导


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