求导去积分符号，积分去求导符号

一、题目

已知 $f(x)$ 为连续函数，且 $f(x)$ $=$ ${\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-f(t)}\mathrm{d}t$, 则当 $n$ $⩾$ $2$ 时：

$$f^{(n)}(0)=?$$

难度评级：

二、解析

首先要知道，本题隐藏着一个已知条件：

$$\begin{array}{r}f(0)\\ \\ & ={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-f(t)}\mathrm{d}t{|}_{x=0}\\ \\ & =0\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& f(x)={\int }_0^x{\mathrm{e}}^{-f(t)}\mathrm{d}t\\ \\ \Rightarrow & \text{等号两边同时对}x\text{求导}\\ \\ \Rightarrow & f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^{-f(x)}\\ \\ \Rightarrow & e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)=e^{f(x)}\cdot {\mathrm{e}}^{-f(x)}\\ \\ \Rightarrow & e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)=1\\ \\ \Rightarrow & \text{等号两边同时对}x\text{积分}\\ \\ \Rightarrow & \int e^{f(x)}\cdot f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int 1\mathrm{d}x\\ \\ \Rightarrow & {\mathrm{e}}^{f(x)}=x+C\\ \\ \Rightarrow & f(0)=0\to {\mathrm{e}}^0=C\to C=1\\ \\ \Rightarrow & {\mathrm{e}}^{f(x)}=x+1\\ \\ \Rightarrow & f(x)=\ln (x+1)\end{array}$$

由于 $\ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式（麦克劳林展开式）为：

$$\begin{array}{rl}\ln (1+x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n+1}{x}^{n+1}\\ \\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n\end{array}$$

接着，根据泰勒公式可知，泰勒展开式的第 $n$ 项为：

$$\begin{array}{rl}& \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x–x_0{)}^n\\ \\ \Rightarrow & x_0=0\\ \\ \Rightarrow & \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot x^n\end{array}$$

Tip

补充内容：《考研数学常用的泰勒公式》

zhaokaifeng.com

所以：

$$\begin{array}{rl}& \frac{f^{(n)}(0)}{n!}\cdot x^n=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}{x}^n\\ \\ \Rightarrow & \frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\\ \\ \Rightarrow & f^{(n)}(0)=\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}\cdot n!\\ \\ \Rightarrow & f^{(n)}(0)=(-1{)}^{n-1}\cdot \frac{n(n-1)!}{n}\\ \\ \Rightarrow & {\mathit{f}}^{\mathbf{(}\mathit{n}\mathbf{)}}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}{\mathbf{)}}^{\mathit{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{(}\mathit{n}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{!}\end{array}$$

相关例题

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