单位矩阵可以用来记录初等变换

一、前言

线性代数中的“单位矩阵（$\boldsymbol{E}$）”是一个非常特别的矩阵，这个矩阵非常简单，以至于可以用来记录初等变换的过程。

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下单位矩阵的这一作用。

二、正文

单位矩阵对一般矩阵的作用

首先，我们要明白矩阵乘法中的“左行右列”原则：在一个矩阵的左边乘上一个矩阵，就会对该矩阵的行产生影响；在一个矩阵的右边乘上一个矩阵，就会对该矩阵的列产生影响。

如果认为 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} }$ 是由单位矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 经过交换第 $1$ 行与第 $2$ 行得到的，则：

$$
\textcolor{orange}{
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} } \begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}} \\
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{3}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{4}}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{3}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{4}} \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}}
\end{bmatrix}
$$

如果认为 $\textcolor{orange}{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} }$ 是由单位矩阵 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 经过交换第 $1$ 列与第 $2$ 列得到的，则：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{2}} \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{3}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{4}}
\end{bmatrix} \textcolor{orange}{
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} } = \begin{bmatrix}
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{2}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} \\
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{4}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{3}}
\end{bmatrix}
$$

在上面的例子中，进行过初等变换的单位矩阵，可以将自己所“ 存 储 ”的初等变换“ 写 入 ”到被乘的矩阵上。

单位矩阵的“记录”功能

如果我们有一个没有经过任何初等变换的单位矩阵——我们可以把此时的单位矩阵看作“空白矩阵”，那么，我们就能将对其他矩阵做的初等变换记录到这个初等矩阵上。

例如，交换矩阵 $\begin{bmatrix} \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}} \\ \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{3}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{4}} \end{bmatrix}$ 的第 $1$ 行与第 $2$ 行：

$$
\begin{bmatrix}
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}} & \textcolor{gray}{|} & 1 & 0 \\
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{3}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{4}} & \textcolor{gray}{|} & 0 & 1
\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix}
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{3}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{4}} & \textcolor{gray}{|} & 0 & 1 \\
\textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}} & \textcolor{gray}{|} & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

或者，交换矩阵 $\begin{bmatrix} \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}} \\ \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{3}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{4}} \end{bmatrix}$ 的第 $1$ 列与第 $2$ 列：

$$
\begin{bmatrix} \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}} \\
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{3}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{4}} \\
\textcolor{gray}{-} & \textcolor{gray}{-} \\
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} \textcolor{white}{\colorbox{green}{2}} & \textcolor{white}{\colorbox{green}{1}} \\
\textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{4}} & \textcolor{brown}{\colorbox{yellow}{3}} \\
\textcolor{gray}{-} & \textcolor{gray}{-} \\
0 & 1 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
$$

所以，单位矩阵不仅可以“ 存 储 ”初等变换，还可以将存储的初等变换“ 写 入 ”到其他矩阵中，在线性代数的学习和解题中，我们要灵活运用单位矩阵的这个与众不同的能力。

---